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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - LGS Lösung
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LGS Lösung: spezielle Lösung zu einem LGS
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 So 04.07.2010
Autor: Xeddon

Aufgabe
[]http://fbmn.h-da.de/~ochs/mathe2/uebungen/testklausur4.pdf

Aufgabe 2c
"Geben Sie eine spezielle Lösung des LGS aus (a) mit x2 = 0 an."

Hallo,

ich weis nicht genau was mit "spezielle Lösung x2 = 0" gemeint ist.
Aus (a) hab ich für die allgemeine Lösung:

X = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + S [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm] : s, t [mm] \in \IR [/mm] belibig

In der Vorlesung wurde mal eine spezielle Lösung gezeigt z.B t=1 und dann für t die 1 eingesetzt. Das war allerdings bei einer Lösung mit einem frei wählbaren Parameter. Hier sind es zwei.
Dazu kommt noch das in der Aufgabenstellung "x2" womit wahrscheinlich nicht s oder t gemeint ist.

Gruß
xeddon

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
LGS Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 So 04.07.2010
Autor: Marcel

Hallo,

> []http://fbmn.h-da.de/~ochs/mathe2/uebungen/testklausur4.pdf
>  
> Aufgabe 2c
>  "Geben Sie eine spezielle Lösung des LGS aus (a) mit x2 =
> 0 an."
>  Hallo,
>  
> ich weis nicht genau was mit "spezielle Lösung x2 = 0"
> gemeint ist.
>  Aus (a) hab ich für die allgemeine Lösung:
>  
> X = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + S [mm]\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm]  + t [mm]\vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm] : s, t [mm]\in \IR[/mm] belibig
>  
> In der Vorlesung wurde mal eine spezielle Lösung gezeigt
> z.B t=1 und dann für t die 1 eingesetzt. Das war
> allerdings bei einer Lösung mit einem frei wählbaren
> Parameter. Hier sind es zwei.
>  Dazu kommt noch das in der Aufgabenstellung "x2" womit
> wahrscheinlich nicht s oder t gemeint ist.

also Deine Lösung(smenge) ist korrekt, besser (im mathematischen Sinne) schreibt man das als
[mm] $$U_{\text{aff.}}:=\left\{\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} + t* \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}: s, t \in \IR\right\}\,,$$ [/mm]
denn dann erkennt man auch, dass Deine Lösungsmenge [mm] $U_{\text{aff.}}\,$ [/mm] ein []affiner Unterraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist.

Nun gilt
[mm] $$U_{\text{aff.}}=\left\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} \in \IR^4:\;\;\exists s,t \in \IR \text{ mit }\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} + t* \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}\right\}\,.$$ [/mm]

Der Aufgabensteller meint nun mit "spezieller Lösung mit [mm] $x_2=0$" [/mm] nichts anderes, als dass Du ein [mm] $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T \in U_{\text{aff.}}$ [/mm] angeben sollst, wo die zweite Komponente (das ist dann ja [mm] $x_2$) [/mm] verschwindet.

Solch' ein [mm] $\vec{x} \in U_{\text{aff.}}$ [/mm] erhältst Du mit
[mm] $$\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t* [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}$$ [/mm]
z.B., indem Du speziell [mm] $s:=1\,$ [/mm] und [mm] $t:=0\,$ [/mm] setzt (alternativ: [mm] $s:=-1\,$ [/mm] und $t:=1$).

Natürlich kannst Du auch hergehen, und sagen
[mm] $$\vec{x} \in U_{\text{aff.}} \text{ mit }x_2=0$$ [/mm]
$$ [mm] \gdw \vec{x}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t* [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0} \text{ und }-1+s+2t=0$$ [/mm]
[mm] $$\gdw \vec{x}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t* [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0} \text{ und }s=1-2t$$ [/mm]
[mm] $$\gdw \vec{x}=\vektor{2\\-1\\0\\0}+\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}-t*\vektor{-6 \\ 2 \\ 0 \\ 2}+t* \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}$$ [/mm]
[mm] $$\gdw \vec{x}=\vektor{-1\\0\\0\\1 }+t*\vektor{4\\0\\1\\-2}\,,$$ [/mm]
wobei [mm] $U_g:=\left\{\vec{x}=\vektor{-1\\0\\0\\1 }+t*\vektor{4\\0\\1\\-2}: \;t \in \IR\right\}$ [/mm] eine (verschobene Ursprungs-) Gerade (also wieder ein affiner Unterraum) des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist (mit [mm] $U_g \subseteq U_{\text{aff.}}$). [/mm] Damit erfüllst Du sogar mehr, als verlangt. Aber eigentlich ist es nur Deine Aufgabe, irgendeinen Punkt der letztgenannten Geraden konkret anzugeben.

Für [mm] $t=0\,$ [/mm] erhältst Du hier wieder speziell [mm] $\vec{x}=(-1,0,0,1)^T\,,$ [/mm] und für [mm] $t=1\,$ [/mm] folgt [mm] $\vec{x}=(3,0,1,-1)^T\,.$ [/mm]

Beste Grüße,
Marcel

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