LGS auf Lösbarkeit untersuchen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche das folgende LGS auf Lösbarkeit und bestimme gegenenfalls sämtliche Lösungen:
x + y + z = 0
kx - y + 2z = 5
7x - 2y + 3z = 15 |
Irgendwie komme ich an einer Stelle nicht weiter. Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet. Schreibe morgen eine Arbeit über dieses Thema.
Zuerst rechne ich die Determinante aus:
[mm] \vmat{ 1 & k & 7 \\ 1 & -1 & -2 \\ 7 & -2 & 3 } [/mm] = 3k - 6
Nun D=0 setzen um zu schauen, wann es keine eindeutige Lösung hat:
3k - 6 = 0
k = 2
Also hat das LGS eine eindeutige Lösung wenn k [mm] \not= [/mm] 2 ist, da dann D [mm] \not=0 [/mm] ist. ((ODER ?))
Nun weiß ich gar nicht, wie ich herausfinde ob es bei k=2 keine Lösung oder unedlich Lösungen hat. Und das sollen wir auch rausfinden.
Ich weiß nur noch, dass man dann 2 für k einsetzt:
x + y + z = 0
2x - y + 2z = 5
7x - 2y + 3z = 15
Aber dann weiter weiß ich nicht.
Ich konnte noch die Lösungen ausrechen, da das ja auch verlangt war:
x= [mm] \bruch{0}{3k-6} [/mm] = 0 (stimmt das?)
y= [mm] \bruch{30-15k}{k-3}
[/mm]
z= [mm] \bruch{10-5k}{k-2}
[/mm]
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Kannst Du erklären, wie Du vom Gleichungssystem auf die Matrix gekommen bist?
Als nächstes rechne dann vor, wie Du die Determinante berechnest.
Gruß v. Angela
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Entschuldige. Auf meinem Blatt habe ich die Determinante richtig berechnet. Bin mit diesen Eingabehilfen noch nicht richtig zurechtgekommen. Es muss natürlich heißen:
$ [mm] \vmat{ 1 & 1 & -3 \\ k & -1 & 2 \\ 7 & -2 & 3 } [/mm] $ = 3k - 6
Die Lösung müsste dann stimmen.
Hoffe ihr könnt mir jetzt helfen.
Danke im Vorraus.
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Hallo,
irgenwas stimmt immer noch nicht: entweder Dein Gleichungssystem oder Deine Matrix.
Die passen nicht zusammen.
Wenn die präsentierte Matrix die richtige ist, nochmal mein Rat: rechne vor, wie Du die Determinante berechnest, Du scheinst etwas falsch zu machen.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Ich gehe davon aus dass dein Gleichungssytem richtig aufgestellt ist. Dann erhalte ich als Determinante D=22-5k. Für [mm] k\not=\bruch{22}{5} [/mm] hat das LGS EINE Lösung. Das berechnest du dann. Für [mm] k=\bruch{22}{5} [/mm] hat das LGS unendlich viele Lösungen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Danke!
Aber es hatte sich noch ein Fehler eingeschlichen *vor den Kopf hau* (obwohl ich wirklich Korrektur gelesen habe)
Die erste Zeile des LGS muss so aussehen:
x + y - 3z = 0
Aber egal. Gehen wir davon aus, dass wir k=2 rausbekommen. (Stimmt soweit ich weiß)
Dann muss das Lösungssystem doch nicht bei k=2 unendlich viele Lösungen haben. Es kann doch auch keine Lösungen haben.
Unser Lehrer hatte uns irgendetwas erklärt, dass wir dann für k auch 2 schreiben müssen:
x + y - 3z = 0
2x - y + 2z = 5
7x - 2y + 3z = 15
Aber was dann gemacht wird weiß ich eben nicht mehr.
Meine Frage:
Wie kann ich nun rausfinden, ob das LGS bei k=2 keine Lösung oder gar unendlich Lösungen hat.
Danke!
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Hallo!
>
> x + y - 3z = 0
> 2x - y + 2z = 5
> 7x - 2y + 3z = 15
>
> Aber was dann gemacht wird weiß ich eben nicht mehr.
> Meine Frage:
> Wie kann ich nun rausfinden, ob das LGS bei k=2 keine
> Lösung oder gar unendlich Lösungen hat.
> Danke!
Setze für k die 2 ein und löse das LGS. Dann siehst du ob das LGS unendlich viele oder gar keine Lösung besitzt.
Gruß
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Soweit war ich auch schon. Nur unser Mathelehrer sagt, dass ihm das als Begründung nicht reicht. Er will etwas wie das hier haben:
Nehmen wir an wir haben in ein LGS schon etwas für k eingesetzt und kriegen dieses raus: Dann sollen wir wie folgt vorgehen.
[mm] 2x + y + \bruch{3}{2}z = 0 |-III[/mm]
[mm]2y + z = \bruch{3}{2}[/mm]
[mm]x + y + z = 1 |*2[/mm]
[mm]-------------------------------------------------------------[/mm]
[mm]-y - \bruch{1}{2}z = -2 |*(-2)[/mm]
[mm]2y + z = \bruch{3}{2}[/mm]
[mm]-------------------------------------------------------------[/mm]
[mm]2y + z = 4[/mm]
[mm]2y + z = \bruch{3}{2}[/mm]
Und da obwohl die Gleichung vor dem = gleich ist eine unterschiedliche Lösung rauskommt, gibt es in diesem Fall "keine Lösung".
Nur irgendwie kann ich das in diesem Fall nicht anwenden.
Ich habe ja das LGS:
[mm] x+ y - 3z = 0[/mm]
[mm] 2x - y + 2z =5[/mm]
[mm] 7x - 2y + 3z = 15[/mm]
Nur ich habe keine Ahnung, was ich nun hier machen kann, damit ich rausbekomme ob es keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat. Wie gesagt, das reine Lösen des LGS reicht ihm nicht aus.
Danke im Vorraus.
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Hallo!
> Soweit war ich auch schon. Nur unser Mathelehrer sagt, dass
> ihm das als Begründung nicht reicht. Er will etwas wie das
> hier haben:
>
> Nehmen wir an wir haben in ein LGS schon etwas für k
> eingesetzt und kriegen dieses raus: Dann sollen wir wie
> folgt vorgehen.
> [mm]2x + y + \bruch{3}{2}z = 0 |-III[/mm]
> [mm]2y + z = \bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]x + y + z = 1 |*2[/mm]
> [mm]-------------------------------------------------------------[/mm]
> [mm]-y - \bruch{1}{2}z = -2 |*(-2)[/mm]
> [mm]2y + z = \bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]-------------------------------------------------------------[/mm]
> [mm]2y + z = 4[/mm]
> [mm]2y + z = \bruch{3}{2}[/mm]
>
Ich kann dem Beispiel zwar nicht ganz folgen aber wie es aussieht hast du ja versucht das LGS zu lösen so wie ich es auch vorgeschlagen habe. Am ende bekommst du 2 gleichungen raus die offenbar im widerspruch stehen. Und daraus weiss man dass das LGS keine Kösung besitzt.
> Und da obwohl die Gleichung vor dem = gleich ist eine
> unterschiedliche Lösung rauskommt, gibt es in diesem Fall
> "keine Lösung".
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur irgendwie kann ich das in diesem Fall nicht anwenden.
> Ich habe ja das LGS:
>
> [mm]x+ y - 3z = 0[/mm]
> [mm]2x - y + 2z =5[/mm]
> [mm]7x - 2y + 3z = 15[/mm]
>
Im Prinzip verwendest du das selbe verfahren wie du es oben versucht hast an dem beispiel. Wir haben
x+y-3z=0 |2I-II
2x-y+2z=5 |7I-III
[mm] \underline{7x-2y+3z=15}
[/mm]
x+y-3z=0
3y-8z=-5
[mm] \underline{9y=-15}
[/mm]
......usw
> Nur ich habe keine Ahnung, was ich nun hier machen kann,
> damit ich rausbekomme ob es keine Lösung oder unendlich
> viele Lösungen hat. Wie gesagt, das reine Lösen des LGS
> reicht ihm nicht aus.
>
> Danke im Vorraus.
Nach deiner Aufgabenstellung entnehme ich dass du prüfen sollst ob das LGS lösbar ist, das hast du ja schon getan und dann sollst du sämtliche Lösungen finden. Also musst du doch das LGS lösen. Also für alle Zahlen die ungleich 2 sind. Dabi musst du dein k beibehalten und und es allgemein lösen.
Gruß
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Ersteinmal Danke, dass du dir die Mühe machst und alles immer so schnell beantwortest!
Nun:
> > [mm]x+ y - 3z = 0[/mm]
> > [mm]2x - y + 2z =5[/mm]
> > [mm]7x - 2y + 3z = 15[/mm]
> >
> Im Prinzip verwendest du das selbe verfahren wie du es oben
> versucht hast an dem beispiel. Wir haben
> x+y-3z=0 |2I-II
> 2x-y+2z=5 |7I-III
> [mm]\underline{7x-2y+3z=15}[/mm]
> x+y-3z=0
> 3y-8z=-5
> [mm]\underline{9y=-15}[/mm]
> ......usw
Irgendwie kann ich deinen Rechenweg überhaupt nicht nachvollziehen. Wenn ich das mache, was du gemacht hast bekomme ich raus:
x+y-3z=0
3y-8z=-5
[mm]\underline{9y-24=-15}[/mm]
Und weiter hilft mir das auch nicht.
> Nach deiner Aufgabenstellung entnehme ich dass du prüfen
> sollst ob das LGS lösbar ist, das hast du ja schon getan
> und dann sollst du sämtliche Lösungen finden. Also musst du
> doch das LGS lösen. Also für alle Zahlen die ungleich 2
> sind. Dabi musst du dein k beibehalten und und es allgemein
> lösen.
Das habe ich schon getan und x,y, und z ausgerechnet, da liegt auch nicht die Schwierigkeit. Nur unser Lehrer hat uns extra nochmals gesagt, dass wir auch dann noch aufzeigen sollen ob es bei k=2 in diesem Fall unendlich oder keine Lösungen gibt.
Meine sonstigen Lösungen:
[mm] x=\bruch{0}{3k-6}
[/mm]
[mm] y=\bruch{30-15k}{k-2}
[/mm]
[mm] z=\bruch{10-5k}{k-2}
[/mm]
Die müssten so stimmen.
Aber mein problem ist eben, ob es bei k=2 nun unendlich Lösungen oder keine Lösungen gibt. Ich habe es eben nochmal probiert und bin wie folgt vorgegangen:
x + y - 3z = 0
2x - y + 2z = 5 |+I
7x - 2y + 3z = 15
--------------------------
x + y - 3z = 0 |*2
3x - z = 5
7x - 2y + 3z = 15
--------------------------
2x + 2y - 6z = 0
3x - z = 5
7x - 2y + 3z = 15 |+I; :3
--------------------------
2x + 2y - 6z = 0
3x - z = 5
3x - z = 5 | -II
---------------------------
2x + 2y - 6z = 0
3x - z = 5
Nun wusste ich nicht mehr wirklich weiter. Ist das soweit richtig. Oder sollte ich komplett anders vorgehen?
Danke im Vorraus.
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> Meine sonstigen Lösungen:
>
> [mm]x=\bruch{0}{3k-6}[/mm]
Hallo,
Dein x kannst Du noch weiter ausrechnen.
>
> [mm]y=\bruch{30-15k}{k-2}[/mm]
[mm] =\bruch{-15(-2+k)}{k-2}= [/mm] ???
>
> [mm]z=\bruch{10-5k}{k-2}[/mm]
[mm] =\bruch{-5(...)}{k-2}=???
[/mm]
>
>
> Die müssten so stimmen.
>
> Aber mein problem ist eben, ob es bei k=2 nun unendlich
> Lösungen oder keine Lösungen gibt. Ich habe es eben nochmal
> probiert und bin wie folgt vorgegangen:
>
> x + y - 3z = 0
> 2x - y + 2z = 5 |+I
> 7x - 2y + 3z = 15
> --------------------------
> x + y - 3z = 0 |*2
> 3x - z = 5
> 7x - 2y + 3z = 15
> --------------------------
> 2x + 2y - 6z = 0
> 3x - z = 5
> 7x - 2y + 3z = 15 |+I; :3
> --------------------------
> 2x + 2y - 6z = 0
> 3x - z = 5
> 3x - z = 5 | -II
> ---------------------------
> 2x + 2y - 6z = 0
> 3x - z = 5
>
> Nun wusste ich nicht mehr wirklich weiter. Ist das soweit
> richtig. Oder sollte ich komplett anders vorgehen?
Dein Vorgehen ist richtig, ich habe aber nicht jede Zeile nachgerechnet und auf etwaige Rechenfahler geprüft.
Du kannst Deinem Gleichungssystem ansehen, daß es unendlich viele Lösungen hat.
Hätte es keine Lösung, so hättest Du eine Zeile wie 0=7 dabeistehen. Dann wäre Hopfen und Malz verloren.
Ich zeige Dir nun, wie Du oben die Lösung findest:
> 2x + 2y - 6z = 0
> 3x - z = 5
Da Du eine Variable "zuviel " hast, darfst Du eine frei wählen.
Wir wählen für z irgendein beliebiges t,
also z=t.
Dazu passen dann
[mm] x=\bruch{5+z}{3}=\bruch{5+t}{3}
[/mm]
und
[mm] y=-x+3z=-\bruch{5+t}{3}+3t=\bruch{-5+8t}{3}.
[/mm]
Für jedes [mm] t\in \IT [/mm] ist also
[mm] x=\bruch{5+t}{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{-5+8t}{3}
[/mm]
z=t
eine Lösung, und das sind unendlich viele.
Falls Ihr bereites bei der Vektorrechnung seid:
alle Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{\bruch{5+t}{3} \\ \bruch{-5+8t}{3}\\t}=\vektor{\bruch{5}{3} \\ -\bruch{5}{3}\\0}+t\vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{8}{3}\\1} [/mm] lösen das System. Die Lösungsmenge ist also eine Gerade.
Gruß v. Angela
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> > Meine sonstigen Lösungen:
> >
> > [mm]x=\bruch{0}{3k-6}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Dein x kannst Du noch weiter ausrechnen.
>
Inwieweit kann ich mein x weiter ausrechnen?
x=0 ?
Und zu den anderen Sachen:
Riesen Großes Dankeschön! =) Habe alles verstanden!
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> > > Meine sonstigen Lösungen:
> > >
> > > [mm]x=\bruch{0}{3k-6}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > Dein x kannst Du noch weiter ausrechnen.
> >
>
> Inwieweit kann ich mein x weiter ausrechnen?
> x=0 ?
Genau.
>
> Und zu den anderen Sachen:
> Riesen Großes Dankeschön! =) Habe alles verstanden!
Prima!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 So 24.02.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Ich muss mich Angela anschließen. Ich befürchte sogar dass du deine Determinante falsch aufgestellt hast. Wenn du wissen willst ob ein LGS genau EINE Lösung bestizt so kann man die Determinante der Koeffizienten berechnen. [mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ k & -1 & 2 \\7 & -2 & 3} [/mm] Dann die Determinante 0 setzten damit du einen Wert für k erhälst. (sagen wir es ist 4 selber nach rechenen da ich mir die zahl nur ausgedacht habe) Nun setzt du vier für k ein und löst das LGS [mm] \Rightarrow [/mm] unendlich viele Lösungen
Gruß
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