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| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix
[mm] B:=\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 }
[/mm]
Bestimmen Sie alle (ggf. komplexen) Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume. |
Hallo liebe Matheraummitglieder,
die EW sind nicht das Problem bei dieser Aufgabe. Es geht mir hier um das richtige Auflösen. Die EW sind
[mm] \lambda_{1}=2
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=+i
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=-i.
[/mm]
Der Eigenraum von [mm] \lambda_{1} [/mm] ist auch relativ einfach, bloß bei [mm] \lambda_{2} [/mm] und [mm] \lambda_{3} [/mm] habe ich Probleme.
Für [mm] \lambda_{1} [/mm] habe ich es so gemacht:
[mm] \pmat{ 2-i & 1 & -1 \\ 0 & -i & 1 \\ 0 & -1 & -i }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] wenn ich die 3.Zeile mit i multipliziere, dann kommt die 2.Zeile dabei raus. D.h. ich habe 2 Gleichungen für 3 Unbekannte=> unendlich viele Lösungen? Es bleibt übrig
[mm] \pmat{ 2-i & 1 & -1 \\ 0 & -i & 1 }=\vektor{0 \\ 0} [/mm] 1.Zeile +2.Zeile
[mm] \pmat{ 2-i & 1-i & 0 \\ 0 & -i & 1 }=\vektor{0 \\ 0} [/mm]
(1) [mm] (2-i)x_{1}+(1-i)x_{2}=0
[/mm]
(2) [mm] -ix_{2}+1x_{3}=0
[/mm]
Aus (2) [mm] 1x_{3}=ix_{2} [/mm] und
aus (1) [mm] (2-1)x_{1}=-(1-i)x_{2} [/mm] jetzt würde ich eig. wählen für [mm] x_{3}=r, [/mm] r [mm] \in \IC [/mm] und würd es danach auflösen.
[mm] L(\lambda_{2})=\{\vektor{ \bruch{-r}{i}+r \\ \bruch{r}{i}\\ r}, r \in \IC\}
[/mm]
Laut Musterlösung
[mm] L(\lambda_{2})=\{\vektor{ 1+3i \\ -5i\\ 5}*r, r \in \IC\}. [/mm] Wie komme ich darauf? Ist meine Lösung auch korrekt?
Vielen DANK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 02.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bist du sicher , dass deine EW richtig sind?
zu deiner Auflösung: wie kommst du von
(1) $ [mm] (2-i)x_{1}+(1-i)x_{2}=0 [/mm] $ und [mm] x_2=ir [/mm] auf [mm] x_1=-ir+r??
[/mm]
da liegt dein Fehler!
(ob du mit r oder 5r rechnest ist später egal)
Gruss leduart
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Danke, die EW stimmen. Habe jetzt noch mal nachgerechnet und bin auf
[mm] x_{1}=\bruch{-r/i+r}{2-i}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{r}{i}
[/mm]
[mm] x_{3}=r, [/mm] r [mm] \in \IC [/mm] gekommen.
Ist das korrekt? kann ich [mm] x_{1} [/mm] weiter vereinfachen?
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Hallo derahnungslose,
> Danke, die EW stimmen. Habe jetzt noch mal nachgerechnet
> und bin auf
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> [mm]x_{1}=\bruch{-r/i+r}{2-i}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=\bruch{r}{i}[/mm]
>
> [mm]x_{3}=r,[/mm] r [mm]\in \IC[/mm] gekommen.
>
> Ist das korrekt? kann ich [mm]x_{1}[/mm] weiter vereinfachen?
>
Ja, das ist korrekt.
Erweitere [mm]x_{1}[/mm] um das konjugiert komplexe des Nenners.
Gruss
MathePower
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