LGS bei Lage von 2 Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Mamoe |
| Aufgabe | gerade 1 [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2 } [/mm] + s * [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0 }
[/mm]
gerade 2 [mm] \vektor{6 \\ 2 \\ 4 } [/mm] + t * [mm] \vektor{11 \\ 0 \\ 6 } [/mm] |
Hallo zusammen, ich mache gerade diese Aufgabe und weiß auch schon was laut Buch herauskommen soll. Jedoch gibt dieses Ergebnis für mich garkein Sinn. Da die Richtungsvektoren ja lin unabhängig sind muss es entweder einen Schnittpunkt geben oder sie müssen windschief sein. Dann hab ich beide Geraden gleichgesetzt und ein LGS gemacht. Da kommt bei mir s= - 1/3 und t = - 1/6 heraus. das muss aber falsch sein laut diesem Buch. Kann mir jdm helfen?
eine frage noch: hab ich das richtig vertstanden, dass man bei dem LGS die I und II Gleichung auflösen muss und in die dritte einsetzen? wenn dann etwas wahres rauskommt gibt es einen schnittpunkt und wenn etwas falsches herauskommt dann sind sie windschief???
Danke schonmal und noch ein schönes Wochenende=)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Sa 20.10.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du kannst folgendes machen:
[mm] g_1= \vektor{2 \\ 1 \\ 2 }+s\cdot{}\vektor{1 \\ 3 \\ 0 }
[/mm]
[mm] g_2=\vektor{6 \\ 2 \\ 4 }+t*\vektor{11 \\ 0 \\ 6 }
[/mm]
Du kannst [mm] g_1=g_2 [/mm] setzen:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2 }+s\cdot{}\vektor{1 \\ 3 \\ 0 }=\vektor{6 \\ 2 \\ 4 }+t*\vektor{11 \\ 0 \\ 6 }
[/mm]
Exisitert ein eindeutiges s und ein eindeutiges t, das die Gleichung erfüllt, dann haben die Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] einen Schnittpunkt (den kannst du berechnen, indem du s in [mm] g_1 [/mm] oder t in [mm] g_2 [/mm] einsetzt.)
Wollen wir das einmal kurz an der Aufgabe berechnen.
Du hast ja dann Zeile für Zeile folgendes da stehen:
i) [mm] 2+s=6+11\cdot{}t
[/mm]
ii) [mm] 1+3\cdot{}s=2
[/mm]
iii) [mm] 2=4+6\cdot{}t
[/mm]
die zweite Gleichung enthält nur ein s; stellen wir sie nach s um, erhalten wir einen Wert für s:
ii) [mm] 1+3\cdot{}s=2 [/mm] wir erhalten [mm] s=\bruch{1}{3} [/mm] (wie kommst du auf [mm] \red{-}\bruch{1}{3} [/mm] ?)
Die dritte Gleichung stellen wir nach t um:
iii) [mm] 2=4+6\cdot{}t [/mm] wir erhalten [mm] t=-\bruch{1}{3} [/mm] (hier hast du dich verrechnet! )
wenn der Wert für t und s die erste Gleichung (i) lösen, dann exisitert ein Schnittpunkt der beiden Geraden. Lösen t und s nicht die erste Gleichung, sind die Geraden windschief.
Setzen wir [mm] t=-\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] s=\bruch{1}{3} [/mm] ein:
i) [mm] 2+\bruch{1}{3}=6+11\cdot{}(-\bruch{1}{3})
[/mm]
wir erhalten: [mm] \bruch{7}{3}=\bruch{7}{3}
[/mm]
Fazit: [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] haben einen Schnittpunkt.
Insgesamt hört sich deine Vorgehensweise gut an. Du hast dich eben verrechnet. Die Hauptsache ist jedoch - in erster Linie - es zu verstehen; und du scheinst es verstanden zu haben.
> Danke schonmal und noch ein schönes Wochenende=)
ebenso.
MfG barsch
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