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| Aufgabe | Bestimme die Lösung des folgenden Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 } \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe grad ein großes Brett vorm Kopf.
Als Lösung des obenstehenden Gleichungssystems kommt laut meinen Unterlagen der Vekor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] raus.
Das v3 = 0 ist, kann man ja praktisch direkt ablesen. Wenn man sich die erste Zeile betrachtet ergibt sich folgender Zusammenhang:
v1 = v2.
Ich verstehe einfach nicht, wieso die Lösung beider Variablen im Lösungsvektor = 1 ist. Ich kann doch hier keine Variable frei wählen (also etwa = t [mm] \in [/mm] K setzen).
Vielen Dank schonmal!
Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Di 15.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
Du meinst wohl das durch
$ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 }\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ induzierte LGS?
Bitte gebe stets die volle Aufgabenstellung an: Über welchem VR ist das LGS denn erklärt? Ich gehe mal (wie es hier wohl üblich ist) davon aus, dass es ein VR über R ist.
Multipliziert man die Matrix mit dem Vektor und löst das LGS wieder auf, dann erhält man
[mm]
-x+y = 0
[/mm]
[mm]
z=0\\
[/mm]
[mm]
-z = 0
[/mm].
Dann steht eigentlich schon alles da. Es gibt ein eleganteres Verfahren ein LGS zu lösen, mit diesem sieht man die Lösung direkt an der Matrix.
LG
Alex
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Hi Alex,
erstmal Danke für deine schnelle Antwort. Leider hilft mir das nicht weiter.
Meinst du mit dem eleganten Verfahren, den Gauß-Algorithmus?
Die Matrix ist ja schon auf Stufen-Form. Daher müsste man nun einfach rücksubstituieren.
> Multipliziert man die Matrix mit dem Vektor und löst das
> LGS wieder auf, dann erhält man
> [mm]
-x+y = 0
[/mm]
> [mm]
z=0\\
[/mm]
> [mm]
-z = 0
[/mm].
>
> Dann steht eigentlich schon alles da. Es gibt ein
> eleganteres Verfahren ein LGS zu lösen, mit diesem sieht
> man die Lösung direkt an der Matrix.
Das ist genau meine Frage. Ich verstehe eben nicht, wieso dann schon alles da steht.
Wieso folgt aus dem Zusammenhang x = y, dass x als auch y die Lösung 1 haben?
Für dich mag das alles sehr offensichtlich sein, für mich in diesem Fall leider nicht.
>
> LG
> Alex
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Hallo Martin,
die Matrix ist ja [mm] $\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 }$
[/mm]
Hier kannst du erst einmal noch die 2.Zeile zur 3.Zeile addieren und bekommst
[mm] $\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Wieder in "Gleichungsschreibweise" übertragen steht in der 3. Zeile die Gleichung: [mm] 0\cdot{}x+0\cdot{}y+0\cdot{}z=0, [/mm] also 0=0
In der 2.Zeile die Gleichung [mm] 0\cdot{}x+0\cdot{}y+1\cdot{}z=0, [/mm] also z=0
In der ersten Zeile steht: [mm] (-1)\cdot{}x+1\cdot{}y+0\cdot{}z=0, [/mm] also -x+y=0
Also hast du einen freien Parameter, wähle zB. y=t mit [mm] t\in \IR
[/mm]
Dann wird die Gl. in Zeile 1 zu -x+t=0, also -x=-t, also x=t
Die Lösungen sind also von der Form [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{t\\t\\0} [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Also ist die allgemeine Lösung: [mm] $\left\{t\cdot{}\vektor{1\\1\\0}\mid t\in\IR\right\}$
[/mm]
Das LGS hat also unendlich viele Lösungen, eine spezielle daraus (für t=1) ist dann genau deine ganz oben angegebene Lösung [mm] \vec{v}=\vektor{1\\1\\0}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Di 15.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Martin,
ich denke, nun verstehe ich wo es hakt.
Wie man auf die Gleichungen kommt ist Dir klar, ich gehe also von den drei Gleichugen aus:
(I) -x +y = 0
(II) -z= 0
(II) z= 0
Die übliche Vorgehensweise ist die sog. Rücksubstitution. Es ist z=0, d.h. eine Variable des Lösungsvektors (x,y,z) ist bereits bestimmt. Die anderen beiden erhält man mit der Gleichung (I). Gemäß dieser Gleichung muss
-x + y = 0 und damit y = x gelten.
Daraus folgt, dass der Lösungsraum Vektoren der Art (x, x, 0) mit x aus R enthält. Diese Notation ist jedoch nicht üblich, man schreibt vielmehr:
$span [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 }$ [/mm] oder fasst den Vektor in spitze Klammern. Das bezeichnet man dann als lineare Hülle oder als Menge aller Linearkombinationen dieses Vektors. D.h. der Vektor $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 }$ [/mm] ist nicht die Lösungsmenge des LGS, sondern eine spezielle Lösung. Alle skalaren Vielfachen davon entspricht dagegen der Lösungsmenge.
LG
Alex
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