LGS lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] x_1+x_5=1
[/mm]
[mm] x_3+x_4=0
[/mm]
[mm] x_1+x_3+x_4=1
[/mm]
[mm] x_1+x_3+x_4+x_5=1
[/mm]
Löse das LGS über [mm] \IF_{2} [/mm] |
Löst man das wie ein normales LGS?
Ich kriege da nämlich nichts richtiges raus für [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3
[/mm]
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
hast du auch beherzigt, dass in $\ [mm] \mathbb F_2 [/mm] $ etwa $\ 1+1 = 0 $ gilt?
Gruß
ChopSuey
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ähmmm..nein, das habe ich nicht. gilt das nur für 1+1 oder gibt es da noch regelungen?
Das ist der unendliche Zahlkörper, stimmt das? Aber ich finde gerade keine Gesetzmäßigkeiten dazu.
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Di 10.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] F_2 [/mm] ist der Raum der Äquivalenzklassen mod 2. es können also nur Werte 0 oder 1 für die [mm] x_i [/mm] auftreten.
Beim Gaussverfahren benutzt du also 1+1=0 in [mm] F_2
[/mm]
dadurch wirds sehr einfach zu rechnen.
Also jetzt geh einfach da ran. rechne vor, und wir überprüfen.
Gruss leduart
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okay, ich habe es zwar immer noch nicht verstanden aber ich probiere es mal...
[mm] 1x_1+0x_2+0x_3+0x_4+1x_5=1
[/mm]
[mm] 1x_1+0x_2+1x_3+1x_4+1x_5=1
[/mm]
[mm] 1x_1+0x_2+1x_3+1x_4+0x_5=1
[/mm]
[mm] 0x_1+0x_2+1x_3+1x_4+0x_5=0
[/mm]
(umgeformt und gleichungen sortiert)
[mm] 1x_1+0x_2+0x_3+0x_4+0x_5=0
[/mm]
[mm] 0x_1+0x_2+1x_3+1x_4+0x_5=0
[/mm]
[mm] 0x_1+0x_2+1x_3+1x_4+1x_5=0
[/mm]
[mm] 0x_1+0x_2+1x_3+1x_4+0x_5=0
[/mm]
so weit komm ich nach einigen umformungen. stimmt das bis dahin? Allerdings ist es seltsam, dieses in zeilenstufenform zu bringen.
Mathegirl
so, und wenn ich jetzt versuche die erste und zweite zeile zusammen zu rechnen (1+1) müsste ja 0 raus kommen (was ja recht gut passt!! bei [mm] x_5 [/mm] würde dann auch null raus kommen, wenn man erste und zweite zeile zusammen rechnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Di 10.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kommst du auf die 0 bei x5 in der ersten Zeile? und die 0 rechts?
da sollte die ursprüngliche erste Zeile noch stehenstehen.
dann sind die folgenden Zeilen richtig, da hast du jeweils die 1. te Zeile addiert,
x2 ist schon weg. also beseitige jetzt x3 durch Addition der 2. ten Zeile,- die bleibt stehen- zu der 3 ten und 4 ten.
x4 geht mit weg. dir bleibt ein Wert für x5. daraus x1
da du nur 4 Gl. für 5 unbekannte hast kannst du x3 oder x4 frei wählen oder stehen lassen und bekommst in Abh. von x4 x3 raus fertig. dann kannst du für x4 0 oder 1 einsetzen und hast 2 Sätze von lösungen. (oder einen)
Gruss leduart
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die 0 deshalb, weil ich die Gleichungen ausgetauscht/umgetauscht habe und 1+1 ja 0 ist! okay, dann werde ich das jetzt mal versuchen. Es kommen aber richtige lösungen raus????
Ich habe jetzt [mm] x_5=0 [/mm] , [mm] x_4=-1, x_3=1 [/mm] und [mm] x_1=1
[/mm]
fällt [mm] x_2 [/mm] dann nun ganz weg? aber je nachdem was für [mm] x_4 [/mm] eingesetzt wird, bekommt man doch ein anderes ergebnis. !!??
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 10.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Lösung ist richtig, da 1=-1 solltest du besser 1 schreiben.
da x2 ja nicht vorkommt ist es beliebig 0 oder 1.
Gruss leduart
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> Ich habe jetzt [mm]x_5=0[/mm] , [mm]x_4=-1\ ,\ x_3=1[/mm] und [mm]x_1=1[/mm]
Hallo Mathegirl,
diese Lösung ist nicht richtig bzw. nicht vollständig !
Dass man statt -1 eigentlich 1 schreiben kann,
ist nur der kleinere Mangel (kein echter Fehler,
da es im Körper natürlich das additive Inverse
gibt).
Schlimmer ist, dass es ja ausser der angegebenen
auch noch die Möglichkeit [mm] x_3=x_4=0 [/mm] gibt !
> fällt [mm]x_2[/mm] dann nun ganz weg? aber je
> nachdem was für [mm]x_4[/mm] eingesetzt wird,
> bekommt man doch ein anderes ergebnis.
Ein [mm] x_2 [/mm] kam in den Gleichungen überhaupt nicht
vor ...
Bezüglich der wirklich "anwesenden" Variablen
haben wir also die Lösungen:
$\ [mm] (x_1, x_3, x_4, x_5)\ \in\ \{(1,0,0,0),(1,1,1,0)\}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Eine weitere Frage gibt es zu dieser Aufgabe noch:
p=10000000069 ist eine Primzahl. Bestimme das Inverse bezüglich der Multiplikation von 100 in [mm] \IF_{p}.
[/mm]
Vielleicht kann mir das jemand so verständlich erklären, dass ich das berechnen kann? Ich habe zwar ne Ahnung was eine Primzahl ist, auch weiß ich was ein Inverses ist, aber diese Aufgabe verstehe ich überhaupt gar nicht!!!
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 10.11.2009 | | Autor: | fred97 |
In $ [mm] \IF_{p}$ [/mm] gibt es genau ein x mit $100*x = 1$
Dieses x sollst Du berechnen.
FRED
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Das ist ja die Frage, WIE und womit man das berechnen könnte...
Ich hatte an moivre verfahren gedacht, aber das ist hier glaub ich etwas fehl am Platz.
Ich habe leider keine sinnvolle Idee, womit man das berechnen soll.
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Hallo Mathegirl,
> Das ist ja die Frage, WIE und womit man das berechnen
> könnte...
>
> Ich hatte an moivre verfahren gedacht, aber das ist hier
> glaub ich etwas fehl am Platz.
Ja, das ist hier fehl am Platz.
>
> Ich habe leider keine sinnvolle Idee, womit man das
> berechnen soll.
Das Inverse von 100 berechnest Du mit Hilfe des
![[]](/images/popup.gif) erweiterten euklidischen Algorithmus.
Gruss
MathePower
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Ich verstehe es leider immer noch nicht.wo ist hier mein a und mein b?
kannst du mir vielleicht den anfang schreiben oder es an einem beispiel erklären? Ich verstehe das einfach nicht.
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ich verstehe es leider immer noch nicht.wo ist hier mein a
> und mein b?
> kannst du mir vielleicht den anfang schreiben oder es an
> einem beispiel erklären? Ich verstehe das einfach nicht.
Gut, dann ein Beispiel:
Berechne das Inverse von 25 modulo 37.
Zunächst berechnen wir die Darstellung
[mm]\alpha*25+\beta*37=\operatorname{ggt}\left(25,37\right), \ \alpha,\beta \in \IZ[/mm]
Der euklische Algorithmus geht nun so:
[mm]\blue{37}=1*\green{25}+12[/mm]
[mm]\blue{25}=2*\green{12}+1[/mm]
Damit ist [mm]\operatorname{ggt}\left(25,37\right)=1[/mm]
Um die obige Darstellung zu erhalten,
gehen wir nun rückwärts vor:
[mm]1=1*\blue{25}-2*\green{12}[/mm]
Die 12 wird nun ersetzt durch
[mm]12=1*\blue{37}-1*\green{25}[/mm]
Damit wird
[mm]1=1*\blue{25}-2*\left(1*\blue{37}-1*\green{25}\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow 1=3*25-2*37[/mm]
Somit gilt: [mm]3*25 \equiv 1 \ \left(37\right)[/mm]
Danach ist 3 das Inverse von 25 modulo 37.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Di 10.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
aber eigentlich solltest du das Inverse zu 10 direkt sehen?
und [mm] 10^2=100
[/mm]
Dann sparst du dir viel Arbeit.
Gruss leduart
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ja das sehe ich jetzt schon, aber wenn ich das mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus mache funktioniert das nicht!
dann wäre ja nach dem Beispiel:
[mm] \alpha*100+\beta*10000000069 [/mm] = ggT( 100, 10000000069)
soweit stimmt das aber schon nicht!!
denn wenn:
10000000069= 100000000*100+69
100000000= 69*99999975+25
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Hallo Mathegirl,
> ja das sehe ich jetzt schon, aber wenn ich das mit dem
> erweiterten euklidischen Algorithmus mache funktioniert das
> nicht!
>
> dann wäre ja nach dem Beispiel:
>
> [mm]\alpha*100+\beta*10000000069[/mm] = ggT( 100, 10000000069)
>
> soweit stimmt das aber schon nicht!!
>
> denn wenn:
>
> 10000000069= 100000000*100+69
> 100000000= 69*99999975+25
>
Die zweite Gleichung lautet hier:
[mm]100=1*69+31[/mm]
Dann gehts weiter mit
[mm] 69 = \operatorname{Faktor} * 31 + \operatorname{Rest}[/mm]
Das machst Du so lange bist Du den Rest 0 erhältst.
Der letzte von 0 verschiedene Rest ist
dann der ggT dieser beiden Zahlen.
>
>
Gruss
MathePower
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Das wäre ja dann 1 oder??
100= 1*69+31
69= 2*31+7
31= 4*7+3
7= 2*3+1
3= 3*1+0
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Das wäre ja dann 1 oder??
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 100= 1*69+31
> 69= 2*31+7
> 31= 4*7+3
> 7= 2*3+1
> 3= 3*1+0
Stimmt.
>
> Mathegirl
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Ist das Inverse =ggT??? dachte das wären zwei verschiedene Dinge!!
Danke nochmal für die guten Erklärungen! :)
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ist das Inverse =ggT??? dachte das wären zwei
> verschiedene Dinge!!
Das sind auch zwei verschiedene Dinge.
Wie schon erwähnt, jetzt musst Du den
euklidischen Algorithmus rückwärts anwenden,
um das Inverse dieser Zahl zu erhalten.
>
> Danke nochmal für die guten Erklärungen! :)
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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rückwärts:
1=1*7-2*3
3=1*31-4*7
7=1*69-2*31
31=1*100-1*69
so und jetzt hängt es irgendwie, den letzten schritt konne ich nicht nachvollziehen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Kann mir da vielleicht jemand bitte helfen um auf den letzten Schritt zu kommen?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> rückwärts:
>
> 1=1*7-2*3
> 3=1*31-4*7
> 7=1*69-2*31
> 31=1*100-1*69
Zunächst steht die Gleichung
[mm]=1=1*7-2*3[/mm]
da.
Jetzt ersetzt Du 3 durch 1*31-4*7:
[mm]1=1*7-2*3[/mm]
[mm] = 1*7-2*\left(1*31-4*7\right)[/mm]
[mm] = 9*7-2*31[/mm]
Nächster Schritt ist jetzt das Ersetzen von 7 durch 1*69-2*31:
[mm]1=9*7-2*31=9*\left(1*69-2*31\right)-2*31[/mm]
Das geht so weiter, bis Du eine Darstellung mit der Zahl 100 und der angegebenen Primzahl bekommst.
>
> so und jetzt hängt es irgendwie, den letzten schritt konne
> ich nicht nachvollziehen!
Gruss
MathePower
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aber wieso muss einmal wie du vorgerechnet hast die 3 (2.Faktor) ersetzt werden und dann wieder die 7 im 1. Faktor? warum nicht die 31??
Mathegirl
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1= 9*69-16*31
1= 9*69-16*(1*100-1*61)-16*31
= 9*69-16*100+16*69-16*31
=25*69 -16*100-16*31
also ist das Inverse 25?
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Hallo Mathegirl,
> 1= 9*69-16*31
Das muss hier lauten:
[mm]1=9*69-\red{20}*31[/mm]
Jetzt ersetzt Du erstmal die 31:
[mm]1=9*69-\red{20}*\left(1*100-1*69\right)[/mm]
Und dann ersetzt Du schliesslich die 69.
> 1= 9*69-16*(1*100-1*61)-16*31
> = 9*69-16*100+16*69-16*31
> =25*69 -16*100-16*31
>
> also ist das Inverse 25?
Gruss
MathePower
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okay, aber womit soll ich die ersetzen? vom logischen müsste jetzt 10 als Inverses rauskommen aber ich komme mit rechnen nicht dazu...
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Hallo Mathegirl,
> okay, aber womit soll ich die ersetzen? vom logischen
> müsste jetzt 10 als Inverses rauskommen aber ich komme mit
> rechnen nicht dazu...
Die erste Zeile des Euklidischen Algorithmus lautet:
[mm]p=\lambda*100+69[/mm]
, wobei p die gegebene Primzahl und
[mm]\lambda[/mm] der ganzzahlige Anteil von [mm]\bruch{p}{100}[/mm] ist.
Umgeformt ergibt das:
[mm]69= 1*p - \lambda*100[/mm]
Das setzt Du jetzt in die Darstellung
[mm]1=\alpha*69+\beta*100[/mm]
ein.
Gruss
MathePower
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okay vielen Dank! Und ich bekomme als Inverses 10 raus. Hoffe doch das das stimmt!
Danke nochmal für die gute Erklärung und vor allem für die viele Geduld :)
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Hallo Mathegirl,
> okay vielen Dank! Und ich bekomme als Inverses 10 raus.
> Hoffe doch das das stimmt!
Das stimmt leider nicht.
>
> Danke nochmal für die gute Erklärung und vor allem für
> die viele Geduld :)
Gruß
MathePower
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hmm...okay, dann geb ich es jetzt auf. Komme einfach nicht drauf. Trotzdem danke!
Grüße
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> hmm...okay, dann geb ich es jetzt auf. Komme einfach nicht
Aufgegeben wird nicht.
> drauf. Trotzdem danke!
Es ist
[mm]1=29*69-20*100[/mm]
Aus
[mm]10000000069=100000000*100+69[/mm]
folgt
[mm]69=10000000069-100000000*100[/mm]
Damit erhalten wir
[mm]1=29*\left(10000000069-100000000*100\right)-20*100[/mm]
[mm]\gdw 1= 29*10000000069-\left(29*100000000+20)*100[/mm]
[mm]\gdw 1=29*10000000069 - 2900000020* 100[/mm]
Damit ist das Inverse zu 100 modulo 10000000069: [mm] 100^{-1}= [/mm] -2900000020
Wenn Du gern positve Zahlen hast:
[mm]-2900000020 \equiv 7100000049 \ \left(10000000069\right)[/mm]
>
> Grüße
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Hallo Mathegirl,
> aber wieso muss einmal wie du vorgerechnet hast die 3
> (2.Faktor) ersetzt werden und dann wieder die 7 im 1.
> Faktor? warum nicht die 31??
>
Bevor die 31 ersetzt werden kann,
müssen erst die 3 bzw. 7 ersetzt werden.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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> [mm]x_1+x_5=1[/mm]
> [mm]x_3+x_4=0[/mm]
> [mm]x_1+x_3+x_4=1[/mm]
> [mm]x_1+x_3+x_4+x_5=1[/mm]
>
> Löse das LGS über [mm]\IF_{2}[/mm]
Hallo Mathegirl,
der Körper [mm] \IF_2 [/mm] ist etwas sehr einfaches. Er besteht
nur aus den zwei Zahlen 0 und 1, und es gelten sehr
einfache Regeln: Alles geht "wie gewohnt", nur ist
1+1=0 statt wie gewohnt 1+1=2.
Schauen wir die einzelnen Gleichungen an:
1.) [mm] x_1+x_5=1
[/mm]
das ist nur möglich, wenn entweder [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_5=1
[/mm]
oder umgekehrt: [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_5=0
[/mm]
2.) [mm] x_3+x_4=0
[/mm]
das ist nur möglich, falls [mm] x_3=x_4=0 [/mm] oder [mm] x_3=x_4=1
[/mm]
3.) [mm] x_1+x_3+x_4=1
[/mm]
wegen dem Assoziativgesetz ist die linke Seite
gleich [mm] x_1+(x_3+x_4)
[/mm]
Wir wissen aber schon aus (2.), dass [mm] x_3+x_4=0 [/mm] ist,
also haben wir
[mm] x_1+\underbrace{(x_3+x_4)}_{=0}=1
[/mm]
und daraus folgt, dass [mm] x_1=1 [/mm] sein muss.
Der Rest ist wohl klar !
(aber siehe noch: Lösungsmenge )
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 10.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nur eine Frage, da es gerade passt:
Wenn ich eine Gleichung wie x=y+3 über [mm] $\IZ/2 \IZ$ [/mm] lösen soll, muss ich also jeder Zahl (Koeffizienten, Absolutglieder) erst ihre Restklasse zuordnen?
Also [mm] $\overline{1}x=\overline{1}y+\overline{1}.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Hi!
>
> Nur eine Frage, da es gerade passt:
> Wenn ich eine Gleichung wie x=y+3 über [mm]\IZ/2 \IZ[/mm] lösen
> soll, muss ich also jeder Zahl (Koeffizienten,
> Absolutglieder) erst ihre Restklasse zuordnen?
>
> Also [mm]$\overline{1}x=\overline{1}y+\overline{1}.[/mm]
>
> Teufel
Hallo Deibel,
der Ring [mm] \IZ/2 \IZ [/mm] oder [mm] \IZ_2 [/mm] ist ja, was Addition und
Multiplikation betrifft, isomorph zu [mm] \IF_2 [/mm] . Siehe
Restklassenring mod 2
Wenn man also die Bezeichnung mit den Querstrichen
benützt, ist natürlich
[mm] \bar{n}=\begin{cases} \bar0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bar1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
beispielsweise also [mm] \bar3=\bar1
[/mm]
Schönen Abend noch !
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Di 10.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi, Al!
Ok, danke dir.
Teufel
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