LGS mit Fallunterscheidung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungen des folgenden Gleichungssystems, beachten Sie dabei die Fallunterscheidung bzgl. λ ∈ R:
4x−y =λy
2x+y = λx |
Servus,
ich soll obige Aufgabe lösen.
Spontan würde ich jetzt erstmal umstellen:
x=1/4*y*(λ+1)
y=x*(λ-2)
So bei den vers. Fällen tu ich mir noch ein bissl schwer.
Wenn λ=2 oder λ=-1 ist wird x und y jeweils 0.
Was bzw. wie kriege ich den anderen Fälle raus?
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Hallo Sup,
> Bestimmen Sie die Lösungen des folgenden
> Gleichungssystems, beachten Sie dabei die
> Fallunterscheidung bzgl. λ ∈ R:
> 4x−y =λy
> 2x+y = λx
> Servus,
>
> ich soll obige Aufgabe lösen.
> Spontan würde ich jetzt erstmal umstellen:
> x=1/4*y*(λ+1)
> y=x*(λ-2) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist ok!
>
> So bei den vers. Fällen tu ich mir noch ein bissl schwer.
> Wenn λ=2 oder λ=-1 ist wird x und y jeweils 0.
> Was bzw. wie kriege ich den anderen Fälle raus?
Naja, stelle doch die korrespondierende Matrix auf:
[mm]4x+(-1-\lambda)y=0[/mm]
[mm]2x+(1-\lambda)y=0[/mm]
entspricht: [mm]\pmat{4&-1-\lambda&\mid&0\\
2&1-\lambda&\mid&0}[/mm]
Dies schnell in Zeilenstufenform bringen und die Lösbarkeit in Abh. von [mm]\lambda[/mm] ablesen.
Wenn du weißt wie die Lösbarkeit eines LGS und Determinante zusammenhängen, kannst du über die Berechnung der Determinante von
[mm]\pmat{4&-1-\lambda\\
2&1-\lambda}[/mm] auch schnell über eind. und nicht eind. Lösbarkeit entscheiden ...
(Lösbar ist ein homog. LGS ja immer durch die triviale Lösung [mm]x=y=0[/mm])
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Sup |
Alles klar, werde das nachher mal durchrechnen.
Bei Fragen meld ich mich nochmal ;)
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Naja, stelle doch die korrespondierende Matrix auf:
>
> [mm]4x+(-1-\lambda)y=0[/mm]
> [mm]2x+(1-\lambda)y=0[/mm]
Müsste das nicht [mm] (2-\lambda)x+1=0 [/mm] heißen?
>
> entspricht: [mm]\pmat{4&-1-\lambda&\mid&0\\
2&1-\lambda&\mid&0}[/mm]
Die Matrix dann [mm] \pmat{ 4 & -1-\lambda & \mid&0 \\ 2-\lambda & 1 & \mid&0 }
[/mm]
> Dies schnell in Zeilenstufenform bringen und die
> Lösbarkeit in Abh. von [mm]\lambda[/mm] ablesen.
Wegen dem Lambda kann ich das ja jetzt nicht mehr machen, da ich da nichts eliminieren kann.
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Hallo nochmal,
> > Naja, stelle doch die korrespondierende Matrix auf:
> >
> > [mm]4x+(-1-\lambda)y=0[/mm]
> > [mm]2x+(1-\lambda)y=0[/mm]
> Müsste das nicht [mm](2-\lambda)x+1=0[/mm] heißen?
Ja, ich habe zu sehr überflogen und das allerletzte [mm]x[/mm] als [mm]y[/mm] interpretiert - sorry!
> >
> > entspricht: [mm]\pmat{4&-1-\lambda&\mid&0\\
2&1-\lambda&\mid&0}[/mm]
>
> Die Matrix dann [mm]\pmat{ 4 & -1-\lambda & \mid&0 \\
2-\lambda & 1 & \mid&0 }[/mm]
>
> > Dies schnell in Zeilenstufenform bringen und die
> > Lösbarkeit in Abh. von [mm]\lambda[/mm] ablesen.
> Wegen dem Lambda kann ich das ja jetzt nicht mehr machen,
> da ich da nichts eliminieren kann.
Nun, addiere das [mm](\lambda-2)[/mm]-fache der 1.Zeile auf das [mm]4[/mm]-fache der 2.Zeile, dann verschwindet der Eintrag [mm]a_{21}[/mm]
Den neuen Eintrag [mm]a_{22}[/mm] kannst du am Ende schön faktorisieren und ablesen, für welche [mm]\lambda[/mm] es eine eind. Lösung [mm](x=y=0)[/mm] oder unendl. viele Lösungen gibt!
(Sofern ich mich nicht wieder vertan habe ...)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Den neuen Eintrag [mm]a_{22}[/mm] kannst du am Ende schön
> faktorisieren und ablesen, für welche [mm]\lambda[/mm] es eine
> eind. Lösung [mm](x=y=0)[/mm] oder unendl. viele Lösungen gibt!
>
> (Sofern ich mich nicht wieder vertan habe ...)
>
Ok dann hab ich [mm] \pmat{ 4 & -1-\lambda & \mid&0 \\
0 & - \lambda^2+\lambda+2& \mid&0 } [/mm]
Die Gleichung der letzten Zeile dann ungeformt ergibt [mm] x_{2}(\lambda(1-\lambda))=-2
[/mm]
Also für [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] \lambda=-1 [/mm] hat das LGS keine Lösung, da die widersprüchliche Aussage 0=2 rauskommt.
Für alle anderen [mm] \lambda [/mm] gibt es dann eine eindeutige Lösung des LGS.
Soweit korrekt?
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Hallo nochmal,
> > Den neuen Eintrag [mm]a_{22}[/mm] kannst du am Ende schön
> > faktorisieren und ablesen, für welche [mm]\lambda[/mm] es eine
> > eind. Lösung [mm](x=y=0)[/mm] oder unendl. viele Lösungen gibt!
> >
> > (Sofern ich mich nicht wieder vertan habe ...)
> >
> Ok dann hab ich [mm]\pmat{ 4 & -1-\lambda & \mid&0 \\
0 & - \lambda^2+\lambda+2& \mid&0 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Im Eintrag [mm]a_{22}[/mm] komme ich auf [mm]-\lambda^2+\lambda+6=-(\lambda-3)(\lambda+2)[/mm]
Also eind. Lösbarkeit für [mm]\lambda\neq 3,-2[/mm], Lösung [mm]x=y=0[/mm]
Für [mm]\lambda=3[/mm] oder [mm]\lambda=-2[/mm] gibt's unendlich viele Lösungen.
Berechne die mal zur Übung!
>
> Die Gleichung der letzten Zeile dann ungeformt ergibt
> [mm]x_{2}(\lambda(1-\lambda))=-2[/mm]
> Also für [mm]\lambda=0[/mm] oder [mm]\lambda=-1[/mm] hat das LGS keine
> Lösung, da die widersprüchliche Aussage 0=2 rauskommt.
> Für alle anderen [mm]\lambda[/mm] gibt es dann eine eindeutige
> Lösung des LGS.
> Soweit korrekt?
Nein, du liest nicht, was man dir schreibt.
Ich sagte doch, dass ein homogenes LGS IMMER lösbar ist (durch die triviale Lösung, hier [mm]x=y=0[/mm])
Hier geht es darum, diejenigen [mm]\lambda[/mm] zu bestimmen, für die es UNENDL. VIELE Lösungen gibt ...
>
>
> So nun muss ich euch noch mit ner 2. Aufgabe (siehe oben)
> nerven (bin mehr eingerostet als ich dachte...)
>
Besser einen neuen thread eröffnen für neue Aufgaben!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Di 10.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Im Eintrag [mm]a_{22}[/mm] komme ich auf
> [mm]-\lambda^2+\lambda+6=-(\lambda-3)(\lambda+2)[/mm]
Ja hab mich verrechnet. Nur ne Frag am Rande wie erkennst du, dass du das so zerlegen kannst? Einfach 2 Teiler von 6 ausklammer und dazu das [mm] \lambda?
[/mm]
Was wäre, wenn da Bsp. vor dem [mm] \lambda [/mm] noch ein Faktor stehen würde?
Ich kenne das immer nur mit einem Faktor ausklammern bzw. habe es so gelernt.
Und das Minus vor de beiden Klammern muss draußen stehen?
> Also eind. Lösbarkeit für [mm]\lambda\neq 3,-2[/mm], Lösung
> [mm]x=y=0[/mm]
>
> Für [mm]\lambda=3[/mm] oder [mm]\lambda=-2[/mm] gibt's unendlich viele
> Lösungen.
>
> Berechne die mal zur Übung!
Alles klar soweit verstanden. Meinst du, die unendl. Lösungen berechnen. Wenn ich einen der Werte einsetzte kommt eine Nullzeile 0=0 raus.
Dann habe ich nur eine Gleichung mit 2 Unbekannten aus der 1. Zeile, die ich dann nach [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] umstellen kann. Dann dückt die Gl. das Verhältnis der beiden zueinander aus.
> Nein, du liest nicht, was man dir schreibt.
>
> Ich sagte doch, dass ein homogenes LGS IMMER lösbar ist
> (durch die triviale Lösung, hier [mm]x=y=0[/mm])
>
> Hier geht es darum, diejenigen [mm]\lambda[/mm] zu bestimmen, für
> die es UNENDL. VIELE Lösungen gibt ..
Auch vertsanden srry falls ich nerve.^^
> Besser einen neuen thread eröffnen für neue Aufgaben!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Ok werde ich das nächste mal beachten.
Werde diese Aufgabe heute Abend zu Hause nochmal zur Übung von vorne rechnen.
Dank vielmals für deine Bemühungen (und die Eröffnung des neuen Threads).
/E: Mist, das sollte ne als Frage rein, naja egal
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