LGS mit Gauß < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Di 10.02.2009 | | Autor: | Muemo |
| Aufgabe | geg: LGS:
-x+8y+3z=2
2x+4y-z=1
-3x+9y+5z=1 |
Hallo,
ich habe obiges LGS gegeben und möchte dies gern mit den Gaußschen Algorithmus lösen. Es geht mir hierbei hauptsächlich um einige prinzipielle Sachen, die mir noch nicht ganz klar sind.
Also mein Ansatz:
[mm] \pmat{ -1 & 8 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & -1 & 1 \\ -3 & 9 & 5 &1 }. [/mm] Dieser Schreibweise soweit erstmal richtig? (In meinen Buch steht das eher in Tabellenform und mit Regie.)
Jetzt versuche ich mittels Elementarer Umformung eine solche Form zu kriegen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 & u \\ 0 & 0 & 1 & v }
[/mm]
Bei richtiger Umformung entspricht: x=t, y=u, z=v. Hoffe das ist auch richtig?
Folgende Sachen sind mir noch unklar:
Kann ich nach dem Aufstellen meiner Matrix bereits erkennen ob ein Gleichungssystem lösbar ist oder nicht?
Laut mein Buch ist es nur erlaubt Zeilen zu multiplizieren und addieren? Kann ich auch dividieren und subtrahieren bei der Umformung?
Gibt es einen wenig aufwendigeren Weg ein solches Gleichungsystem mit Gauß zu lösen als den obigen?
Fragen scheinen ja recht trivial, leider fehlts es mir trotzdem noch an Verständnis dafür. Wäre nett wenn jemand diese letzten Unklarheiten beseitigen könnte.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> geg: LGS:
> -x+8y+3z=2
> 2x+4y-z=1
> -3x+9y+5z=1
> Hallo,
>
> ich habe obiges LGS gegeben und möchte dies gern mit den
> Gaußschen Algorithmus lösen. Es geht mir hierbei
> hauptsächlich um einige prinzipielle Sachen, die mir noch
> nicht ganz klar sind.
>
> Also mein Ansatz:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 8 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & -1 & 1 \\ -3 & 9 & 5 &1 }.[/mm]
> Dieser Schreibweise soweit erstmal richtig? (In meinen Buch
> steht das eher in Tabellenform und mit Regie.)
>
> Jetzt versuche ich mittels Elementarer Umformung eine
> solche Form zu kriegen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 & u \\ 0 & 0 & 1 & v }[/mm]
>
> Bei richtiger Umformung entspricht: x=t, y=u, z=v. Hoffe
> das ist auch richtig?
>
> Folgende Sachen sind mir noch unklar:
>
> Kann ich nach dem Aufstellen meiner Matrix bereits erkennen
> ob ein Gleichungssystem lösbar ist oder nicht?
> Laut mein Buch ist es nur erlaubt Zeilen zu multiplizieren
> und addieren? Kann ich auch dividieren und subtrahieren bei
> der Umformung?
Natürlich. Die Division durch 2 entspricht doch der Multiplikation mit [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Die die Subtraktion von 5 entspricht der Addition von -5.
> Gibt es einen wenig aufwendigeren Weg ein solches
> Gleichungsystem mit Gauß zu lösen als den obigen?
Manchmal (eher selten, nur wenn die Zahlen günstig gegeben sind) ist ein stinknormales Einsetzungsverfahren schneller). Gauß ist halt ein Algoritmus, den man einfach nur stur abarbeiten muss und bei dem man (fehlerfreie Arbeit und eindeutige Lösbarkeit vorausgesetzt) auch zum Ziel kommt.
Gruß Abakus
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> Fragen scheinen ja recht trivial, leider fehlts es mir
> trotzdem noch an Verständnis dafür. Wäre nett wenn jemand
> diese letzten Unklarheiten beseitigen könnte.
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 10.02.2009 | | Autor: | Muemo |
Vielen Dank für die Antwort. Das mit der Division und Subtraktion hab ich mir auch so gedacht, da hat mich wohl einfach nur mein Buch verwirrt.
Wie sieht es aus mit der Lösbarkeit? Kann ich das vorher anhand irgendwelcher Kriterien feststellen ob es überhaupt lösbar ist oder muss ich solange machen bis ich auf einen Widerspruch stoße?
Danke nochmal, hilft echt solch einfache Fragen auch beantwortet zu kriegen. :)
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> Wie sieht es aus mit der Lösbarkeit? Kann ich das vorher
> anhand irgendwelcher Kriterien feststellen ob es überhaupt
> lösbar ist oder muss ich solange machen bis ich auf einen
> Widerspruch stoße?
>
> Danke nochmal, hilft echt solch einfache Fragen auch
> beantwortet zu kriegen. :)
Hallo,
Du siehst, ob es lösbar ist, wenn Du die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht hast.
Dann vergleicht man den Rang von A mit dem der erweiterten Matrix (A|b). Sind die Ränge gleich, so ist das System lösbar.
Zur ZSF kommt man mit etws Übung schnell.
Gruß v. Angela
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