LGS mit Lambda,eindeutige Lös. < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mi 02.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe 1 | Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] -2\lambda x_1 [/mm] + [mm] \lambda x_2 [/mm] + [mm] 9x_3 [/mm] = 6
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] \lambda x_3 [/mm] = 1 |
| Aufgabe 2 | | a) Für welche Werte [mm] \lambda \in \IR [/mm] ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? |
| Aufgabe 3 | | b) Für welche Werte [mm] \lambda [/mm] existieren unendlich viele Lösungen? |
| Aufgabe 4 | | c) Für welche Werte [mm] \lambda [/mm] existieren überhaupt keine Lösungen? |
| Aufgabe 5 | | d) Man berechene die Lösung für [mm] \lambda [/mm] = 1 |
Hallo Mathe-Profis,
ich bin schon seit einigen Tagen am recherchieren in diesem Forum aber ich komme mit oben genannten Aufgabenstellungen nicht zurecht. Dies ist übrigens auch mein erster Post, also verzeiht mir eventuelle Fehler.
Ich bereite mich momentan auf eine Lineare Algebra-Klausur vor und nun stoppe ich bei dieser Aufgabe weil mir die Ansätze fehlen...
Vorallem das [mm] \lambda [/mm] bringt mich raus..
Angefangen mit der ersten Aufgabenstellung habe ich überlegt, dass Gleichungssysteme ja eindeutig lösbar sind, wenn rang(A)=rang(A |b) und der wiederum maximal ist also in diesem Fall rang 3 ( ? ) Ist die Überlegung soweit überhaupt richtig, oder gehe ich die Sache schon direkt falsch an?
Da wir eine 3x3 Matrix vorliegen haben, kann man ja die Determinante auch ohne Gauß-Algo. berechnen oder?
Also ist es für a) Ziel eine Zahl für [mm] \lambda [/mm] zu finden, mit der der Rang(A) = Rang(A |b) =3 ist ? (oder anders gesagt, die Zahlen für [mm] \lambda [/mm] finden, mit der die Determinante =0 ergibt? Weil dann der Rang nicht maximal wäre und wir sagen können, nur für diese Zahlen wo die Determinante=0 ergibt ist keine eindeutige Lösung vorhanden?
Ihr seht ich bin verwirrt...und brauche Denkanstöße...
Lösung soll übrigens
Für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] außer [mm] \lambda [/mm] = 3 und [mm] \lambda [/mm] =- [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Ich bin sehr dankbar über eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
>
> [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
> [mm]-2\lambda x_1[/mm] + [mm]\lambda x_2[/mm] + [mm]9x_3[/mm] = 6
> [mm]2x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]\lambda x_3[/mm] = 1
>
>
> a) Für welche Werte [mm]\lambda \in \IR[/mm] ist das
> Gleichungssystem eindeutig lösbar?
>
>
> b) Für welche Werte [mm]\lambda[/mm] existieren unendlich viele
> Lösungen?
>
>
> c) Für welche Werte [mm]\lambda[/mm] existieren überhaupt keine
> Lösungen?
>
>
> d) Man berechene die Lösung für [mm]\lambda[/mm] = 1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Angefangen mit der ersten Aufgabenstellung habe ich
> überlegt, dass Gleichungssysteme ja eindeutig lösbar
> sind, wenn rang(A)=rang(A |b) und der wiederum maximal ist
> also in diesem Fall rang 3 ( ? ) Ist die Überlegung soweit
> überhaupt richtig, oder gehe ich die Sache schon direkt
> falsch an?
Die Überlegungen sind richtig.
>
> Da wir eine 3x3 Matrix vorliegen haben, kann man ja die
> Determinante auch ohne Gauß-Algo. berechnen oder?
Ja.
>
> Also ist es für a) Ziel eine Zahl für [mm]\lambda[/mm] zu finden,
> mit der der Rang(A) = Rang(A |b) =3 ist ? (oder anders
> [color=red]gesagt, die Zahlen für [mm]\lambda[/mm] finden, mit der die [/color]
> Determinante =0 ergibt? Weil dann der Rang nicht maximal
> [color=red]wäre und wir sagen können, nur für diese Zahlen wo die [/color]
> Determinante=0 ergibt ist keine eindeutige Lösung
> [color=red]vorhanden?[/color]
Du denkst völlig richtig.
Ist [mm] \lambda [/mm] so gewählt, daß die die Determinante =0 wird, dann gibt es keine oder viele Lösungen. Das untersuchst Du dann einzeln für die betreffenden [mm] \lambda [/mm] .
Für all die vielen [mm] \lambda, [/mm] bei denen die Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist, ist das LGS eindeutig lösbar.
So wie ich es sehe, bist Du auf einem guten Weg.
Mach jetzt einfach mal!
LG Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:25 Mi 02.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Danke für die schnelle Antwort und die Begrüßung Angela  .
Ich habe zwar zuerst gesagt, dass man die Determinante ja auch ohne Gauß ( Stufenform) errechnen kann, jedoch weiß ich gerade nicht, was mich da geritten hat... habe es nun einmal mit Stufenform, wie folgt, probiert:
> > Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
> >
> > [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
> > [mm]-2\lambda x_1[/mm] + [mm]\lambda x_2[/mm] + [mm]9x_3[/mm] = 6
> > [mm]2x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]\lambda x_3[/mm] = 1
Ich habe es in eine Matrixschreibweise gebracht und dann folgenedes gemacht:
Die dritte Zeile -2*I
daraus folgt:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ -2\lambda & \lambda & 9 \\ 0 & 0 & \lambda-2 }
[/mm]
dann die zweite Zeile durch [mm] \lambda [/mm] dividiert [mm] (\lambda \not= [/mm] 0 muss hier glaube ich angemerkt werden) und die erste Zeile hinzuaddiert.
daraus folgt:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & \bruch{9}{x}+1 \\ 0 & 0 & \lambda -2 }
[/mm]
War das bis jetzt ein Griff ins Klo, oder kann ich damit weiter arbeiten? Aus der letzten Zeile könnte ich doch jetzt theoretisch ableiten , dass [mm] \lambda [/mm] -2 = 1 daraus folgt, dass [mm] \lambda [/mm] = 3 ist ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mi 02.07.2014 | | Autor: | wauwau |
> Danke für die schnelle Antwort und die Begrüßung Angela
> .
>
> Ich habe zwar zuerst gesagt, dass man die Determinante ja
> auch ohne Gauß ( Stufenform) errechnen kann, jedoch weiß
> ich gerade nicht, was mich da geritten hat... habe es nun
> einmal mit Stufenform, wie folgt, probiert:
>
> > > Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
> > >
> > > [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
> > > [mm]-2\lambda x_1[/mm] + [mm]\lambda x_2[/mm] + [mm]9x_3[/mm] = 6
> > > [mm]2x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]\lambda x_3[/mm] = 1
>
> Ich habe es in eine Matrixschreibweise gebracht und dann
> folgenedes gemacht:
>
> Die dritte Zeile -2*I
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ -2\lambda & \lambda & 9 \\ 0 & 0 & \lambda-2 }[/mm]
>
ACHTUNG: Umformung ist falsch
[mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ -2\lambda & \lambda & 9 \\ -2 & 0 & \lambda-2 }[/mm]
> dann die zweite Zeile durch [mm]\lambda[/mm] dividiert [mm](\lambda \not=[/mm]
> 0 muss hier glaube ich angemerkt werden) und die erste
> Zeile hinzuaddiert.
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & \bruch{9}{x}+1 \\ 0 & 0 & \lambda -2 }[/mm]
>
> War das bis jetzt ein Griff ins Klo, oder kann ich damit
> weiter arbeiten? Aus der letzten Zeile könnte ich doch
> jetzt theoretisch ableiten , dass [mm]\lambda[/mm] -2 = 1 daraus
> folgt, dass [mm]\lambda[/mm] = 3 ist ?
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mi 02.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
> > ACHTUNG: Umformung ist falsch
Danke..wie peinlich von mir..
ich habe es mal neu gemacht, und es sieht sehr unübersichtlich und falsch aus...bitte um bewertung..
dritte Zeile -2*I
II durch [mm] \lambda [/mm] und +1*I
dann I-0,5*II
und zum schluss III+1*I
bei mir sieht das dann am Ende so aus..
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1-0.5*(\bruch{9}{\lambda}+1)\ \\ 0 & 2 & \bruch{9}{\lambda}+1 \ \\ 0 & 0 & (x-2)+1-0.5(\bruch{9}{\lambda}+1)\}
[/mm]
Das sieht für mich nicht richtig aus...
Wenn ich vorhabe es mit der Stufenform zu machen, wie wäre der nächste Schritt, vorausgesetzt ich hätte die richtige Matrix am Ende?
Danke für eure Mithilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mi 02.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Jengo,
> bei mir sieht das dann am Ende so aus..
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1-0.5*(\bruch{9}{\lambda}+1)\ \\ 0 & 2 & \bruch{9}{\lambda}+1 \ \\ 0 & 0 & (x-2)+1-0.5(\bruch{9}{\lambda}+1)\}[/mm]
>
>
> Das sieht für mich nicht richtig aus...
Für mich schon, abgesehen von dem Tippfehler mit dem x. Die letzte Spalte der Matrix kann man durch Zusammenfassen ja auch noch behübschen. Und wenn du alles bruchfrei haben möchtest, dann könntest du noch mit [mm]2*\lambda [/mm] multiplizieren.
> Wenn ich vorhabe es mit der Stufenform zu machen, wie wäre
> der nächste Schritt, vorausgesetzt ich hätte die richtige
> Matrix am Ende?
Wenn du die Determinante deiner neuen Matrix berechnen möchtest, musst du nur die drei Hauptdiagonalelemente multiplizieren.
Du hättest auch die Determinante der ursprünglichen Matrix mittels der Regel von SARRUS berechnen können. Das Ergebnis wäre [mm]2*(2*\lambda+3)*(\lambda-3)[/mm]. Die Determinante deiner neuen Matrix ist der gleiche Ausdruck aber noch dividiert durch [mm]\lambda[/mm].
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mi 02.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
> Hallo Jengo,
>
> > bei mir sieht das dann am Ende so aus..
> >
> > [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1-0.5*(\bruch{9}{\lambda}+1)\ \\ 0 & 2 & \bruch{9}{\lambda}+1 \ \\ 0 & 0 & (x-2)+1-0.5(\bruch{9}{\lambda}+1)\}[/mm]
>
> >
> >
> > Das sieht für mich nicht richtig aus...
>
> Für mich schon, abgesehen von dem Tippfehler mit dem x.
> Die letzte Spalte der Matrix kann man durch Zusammenfassen
> ja auch noch behübschen. Und wenn du alles bruchfrei haben
> möchtest, dann könntest du noch mit [mm]2*\lambda[/mm]
> multiplizieren.
>
> > Wenn ich vorhabe es mit der Stufenform zu machen, wie wäre
> > der nächste Schritt, vorausgesetzt ich hätte die richtige
> > Matrix am Ende?
> Wenn du die Determinante deiner neuen Matrix berechnen
> möchtest, musst du nur die drei Hauptdiagonalelemente
> multiplizieren.
>
> Du hättest auch die Determinante der ursprünglichen
> Matrix mittels der Regel von SARRUS berechnen können. Das
> Ergebnis wäre [mm]2*(2*\lambda+3)*(\lambda-3)[/mm]. Die
> Determinante deiner neuen Matrix ist der gleiche Ausdruck
> aber noch dividiert durch [mm]\lambda[/mm].
>
> Gruß RMix
>
Richtig, es muss in der letzten Zeile ein [mm] \lambda [/mm] Zeichen sein, anstatt des X... ( habe es zur vereinfachung auf meinem Zettel mit X anstatt [mm] \lambda [/mm] gerechnet ).
Das meine Matrix scheinbar nicht falsch ist freut mich ja schon mal, aber das zusammenfassen bekomme ich gerade nicht hin... Wenn ich es so stehenlassen würde, dann würde ich nach Sarrus 2*2* [mm] (\lambda -2)+1-0.5*(\bruch{9}{\lambda}+1) [/mm] rechnen müssen, sehe ich das richtig? Da ich den Umformungsschritten einmal durch [mm] \lambda [/mm] dividiert habe, müsste ich jetzt das bei der Determinantenberechnung beachten, oder? Also einfach noch mal mit [mm] \lambda [/mm] multiplizeren? Dank euch ist es bald geschafft!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Mi 02.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo Jengo32,
> Das meine Matrix scheinbar nicht falsch ist freut mich ja
> schon mal, aber das zusammenfassen bekomme ich gerade nicht
> hin... Wenn ich es so stehenlassen würde, dann würde ich
> nach Sarrus 2*2* [mm](\lambda -2)+1-0.5*(\bruch{9}{\lambda}+1)[/mm]
du darfst hier zumindest nicht vergessen, um den letzten Term auf Position (3,3) der Matrix eine KLAMMER zu setzen:
$2*2* [mm] \left\red{[}(\lambda -2)+1-0.5*(\bruch{9}{\lambda}+1)\right\red{]}$
[/mm]
[die Rechnung selbst habe ich nicht geprüft (Anm. d. R.)]
> rechnen müssen, sehe ich das richtig? Da ich den
> Umformungsschritten einmal durch [mm]\lambda[/mm] dividiert habe,
> müsste ich jetzt das bei der Determinantenberechnung
> beachten, oder? Also einfach noch mal mit [mm]\lambda[/mm]
> multiplizeren? Dank euch ist es bald geschafft!
Probiere es aus.
Grüße
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 02.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo Herby,
ich habe das eben in den Taschenrechner mal eingegeben und =0 gesetzt.
Taschenrechner sagt [mm] \lambda [/mm] = 3.
Wenn ich das jetzt interpretiere bedeutet das, dass die Determinante =0 ist wenn [mm] \lambda [/mm] den Wert 3 annimmt, oder? Und somit würde es für [mm] \lambda [/mm] 3 keine eindeutige Lösung geben, da Det(A)=0 ist ?
Was hat es nun aber mit den [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] auf sich? Danke euch allen nochmals
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 02.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo Herby,
>
> ich habe das eben in den Taschenrechner mal eingegeben und
> =0 gesetzt.
>
> Taschenrechner sagt [mm]\lambda[/mm] = 3.
>
> Wenn ich das jetzt interpretiere bedeutet das, dass die
> Determinante =0 ist wenn [mm]\lambda[/mm] den Wert 3 annimmt, oder?
> Und somit würde es für [mm]\lambda[/mm] 3 keine eindeutige Lösung
> geben, da Det(A)=0 ist ?
>
> Was hat es nun aber mit den [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] auf sich? Danke
> euch allen nochmals
Sieh dir meine Antwort auf deine vorhergehende Frage an. Dein Taschenrechner wendet vermutlich nur ein numerisches Verfahren an und da hängt es vom ersten Schätzwert ab, welche von den beiden Lösungen du erhältst. Schau die den Ausdruck an, den ich dir in einem früheren Posting als Wert der Determinante genannt habe. Ich habe den Ausdruck nicht ohne Grund faktorisiert angegeben - man sieht die Nullstellen da doch um Häuser besser.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mi 02.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Jengo,
> nach Sarrus 2*2* [mm](\lambda -2)+1-0.5*(\bruch{9}{\lambda}+1)[/mm]
da fehlt ein wichtiges Klammerpaar
[mm]2*2*\green((\lambda -2)+1-0.5*(\bruch{9}{\lambda}+1)\green)[/mm]
Wenn du das jetzt vereinfachst und auf *einen* Bruch umformst, bist du fast dort. Den quadratischen Zählerterm musst du jetzt nur noch faktorisieren (Nullstellen bestimmen).
> Da ich den Umformungsschritten einmal durch [mm]\lambda[/mm] dividiert habe,
> müsste ich jetzt das bei der Determinantenberechnung
> beachten, oder? Also einfach noch mal mit [mm]\lambda[/mm]
> multiplizeren?
Im Prinzip ja, du hast bei deinen Umformungen einmal mit 2 multipliziert, dann wieder durch 2 und später durch [mm]\lambda[/mm] dividiert. Aber im Grunde interessiert dich wahrscheinlich ohnedies nur, für welches [mm]\lambda[/mm] die Koeffizientendeterminante Null wird.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mi 02.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Dank der PQ-Formel ( ich gebe zu es hat einen Moment gedauert, bis es klick gemacht hat) komme ich auf die Nullstellen 3 und [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] :-D.
Jetzt muss ich nur noch nachvollziehen, wie du meine Brüche so umgeschrieben hast...
Aber wir sind endlich zum Ziel gekommen! :-D
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 02.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Ich habe noch einige Verständnisschwierigkeiten wie ihr sicherlich merkt.
Wenn die Frage jetzt gelautet hätte, "Gibt es eine eindeutige Lösung", dann hätte ich doch auch noch mal die erweiterte Matrix betrachten müssen und den Rang ausrechnen müssen, oder? Denn nur wenn rang(A)=rang(A|b) = max (in diesem Fall 3) besteht eine eindeutige Lösung?
Aber da in diesem Fall nach speziellen Zahlen für [mm] \lambda [/mm] gefragt wurde, konnte ich die erweiterte Matrix vernachlässigen (?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 02.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ich habe noch einige Verständnisschwierigkeiten wie ihr
> sicherlich merkt.
>
> Wenn die Frage jetzt gelautet hätte, "Gibt es eine
> eindeutige Lösung", dann hätte ich doch auch noch mal die
> erweiterte Matrix betrachten müssen und den Rang
> ausrechnen müssen, oder? Denn nur wenn rang(A)=rang(A|b) =
> max (in diesem Fall 3) besteht eine eindeutige Lösung?
> Aber da in diesem Fall nach speziellen Zahlen für [mm]\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gefragt wurde, konnte ich die erweiterte Matrix
> vernachlässigen (?)
Nein!
Es hat, glaube ich, ohnedies schon jemand vorhin geschrieben:
Durch Bestimmung der Koeffizientenmatrix kannst du nur unterscheiden ob es eine eindeutige, also eine einzige Lösung gibt oder nicht. "Oder nicht" kann entweder bedeuten, dass es gar keine Lösung gibt oder aber sogar ("unendlich") viele. Um das zu entscheiden, könntest du natürlich die Rangbetrachtung heranziehen. Wenn der Rang der um b erweiterten Koeffizientenmatrix größer als jener von A ist, dann gibt es keine Lösung.
In deinem Fall scheint es mir aber vielleicht einfacher zu sein (und auch das hat schon jemand vorgeschlagen), du führst die Rangbestimmung nicht mit allgemeinem \lambda durch sondern setzt jeweils einfach die beiden kritischen $\lambda}$-Werte ein. Dann siehst du ja bald, worauf es jeweils hinausläuft. Es tritt übrigens beide Male der gleiche Fall auf.
EDIT: Diese letzte Bemerkung ist falsch. Ich hatte einen falschen Wert im Vektor b.
Gruß, RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 02.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo noch mal,
ich glaube ich stehe einfach mit einem Brett vor dem Kopf auf dem Schlauch..
Was mich nur stutzig gemacht hatte war, dass es heißt "Ein LGS ist eindeutig Lösbar wenn rang A = rang(A | b) = n gilt."
Das heißt, bevor ich die eindeutige Lösung berechne, muss ich doch erst einmal prüfen, ob rang A = rang(A | b) = n gilt und somit überhuapt eine eindeutige Lösung möglich ist. Weil wenn das nicht gilt, ist die ganze Aufgabe ja hinfällig. Kann auch sein dass ich hier auf dem Kopfstehe und mich mit den Gedanken im Kreis drehe...die Aufgabe hält mich schon zu lange am laufen..
Desweiteren habe ich mir die Ausgangsmatrix noch mal aufgeschrieben und mit Sarrus folgendes rausbekommen:
[mm] \lambda [/mm] ^2 - [mm] 1,5\lambda [/mm] -4,5 =0
PQ Formel spuckt die Werte 3 und [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] aus. Lösung passt also
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Do 03.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo auch,
> Was mich nur stutzig gemacht hatte war, dass es heißt "Ein
> LGS ist eindeutig Lösbar wenn rang A = rang(A | b) = n
> gilt."
Warum macht dich das stutzig?
Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Wenn du dann noch eine Spalte dranhängst, kann der Rang nicht kleiner werden. Wenns also nur um die eindeutige Lösbarkeit geht, reicht es daher zu prüfen, ob die Determinante der quadratischen Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. Den Rang der erweiterten Koeffizentenmatrix prüftss du nur, falls |A|=0 ist um die nähere Unterscheidung treffen zu können wie vorhin beschrieben.
> Das heißt, bevor ich die eindeutige Lösung berechne, muss
> ich doch erst einmal prüfen, ob rang A = rang(A | b) = n
Wir sprechen jetzt nicht mehr von deiner Aufgabe mit variablem [mm] \lambda [/mm] , oder?
Wenn rank(A)=n (bzw |A| ungleich 0) dann erübrigt sich rank(A | b)
Je nach Lösungsmethode kannst du ja auch einfach drauflosrechnen und siehst dann ohnedies, obs Probleme gibt oder sich eine eindeutige Lösung einstellt.
Falls keine eindeutige Lösung existiert und du rechnest mit A^-1*b, dann hast du das Problem ,dass die Inverse von A nicht existiert. Rechnest du mir CRAMER, stößt du auf eine DIvison durch Null. Verwendest du Gauß, dann bekommst du vielleicht zum Schluß eine Zeile mit ausschließlich Nullen.
> Weil wenn das nicht gilt, ist die ganze Aufgabe ja hinfällig.
Das versteh ich jetzt eigentlich nicht, welches Problem du noch siehst.
> Desweiteren habe ich mir die Ausgangsmatrix noch mal
> aufgeschrieben und mit Sarrus folgendes rausbekommen:
>
> [mm]\lambda[/mm] ^2 - [mm]1,5\lambda[/mm] -4,5 =0
>
Hmm, hast du da einen Faktor 4 verloren? Nun, für die Nullstellen ist das natürlich unerheblich.
Wie weit bist du also:
Du weißt nun, für welche Werte von [mm] \lambda [/mm] sich eine eindeutige Lösung einstellt, oder? Damit is a) erledigt.
Jetzt musst du noch den Typ der Fälle 3 und -1.5 untersuchen, damit du b) und c) beantworten kannst.
Na und in d) sollst du erstmals ein konkretes Gleichungssystem tatsächlich lösen. Dass sich hier eine eindeutige Lösung einstellt wissen wir ja (wegen a)) bereits.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Guten Morgen allerseits!
> b) Für welche Werte [mm]\lambda[/mm] existieren unendlich viele
> Lösungen?
ich habe versucht diese Aufgabenstellung mit Hilfe der Cramerschen Regel zu erarbeiten.
Im Endeffekt komme ich auf folgendes:
[mm] \bruch{D_x_1}{D} [/mm] = [mm] \bruch{7(3-x)}{4(x^2 -1,5x-4,5)}
[/mm]
[mm] \bruch{D_x_2}{D} [/mm] = [mm] \bruch{10(x-3)}{4(x^2 -1,5x-4,5)}
[/mm]
[mm] \bruch{D_x_3}{D} [/mm] = [mm] \bruch{4(x-3)}{4(x^2 -1,5x-4,5)}
[/mm]
Sehe ich es richtig, dass die Brüche jeweils die Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] haben müssen, damit das Kriterium für unendliche Lösungen erfüllt ist?
Wenn ja, dann kann man ja nur die Zahl 3 für x einsetzen.
Also wäre die Lösung 3 ?
"d) Man berechene die Lösung für [mm] \lambda [/mm] = 1 "
Da komme ich auf Werte von [mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{7}{10}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = 1 und [mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{2}{5}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Do 03.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen allerseits!
>
> > b) Für welche Werte [mm]\lambda[/mm] existieren unendlich viele
> > Lösungen?
>
> ich habe versucht diese Aufgabenstellung mit Hilfe der
> Cramerschen Regel zu erarbeiten.
Diese Regel kannst Du nur anwenden, wenn das LGS eindeutig lösbar ist
>
> Im Endeffekt
...... und im Anfangseffekt .... ?
> komme ich auf folgendes:
>
> [mm]\bruch{D_x_1}{D}[/mm] = [mm]\bruch{7(3-x)}{4(x^2 -1,5x-4,5)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{D_x_2}{D}[/mm] = [mm]\bruch{10(x-3)}{4(x^2 -1,5x-4,5)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{D_x_3}{D}[/mm] = [mm]\bruch{4(x-3)}{4(x^2 -1,5x-4,5)}[/mm]
Da hast Du es: obiges ist nur sinnvoll im Falle [mm] x^2 [/mm] -1,5x-4,5 [mm] \ne [/mm] 0, also im Falle x [mm] \ne [/mm] 3 und x [mm] \ne [/mm] -1,5
In diesem Fall ist das LGS eindeutig lösbar.
Zu untersuchen sind also noch die Fälle x=3 und x=-1,5
FRED
>
> Sehe ich es richtig, dass die Brüche jeweils die Form
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] haben müssen, damit das Kriterium für
> unendliche Lösungen erfüllt ist?
>
> Wenn ja, dann kann man ja nur die Zahl 3 für x einsetzen.
>
> Also wäre die Lösung 3 ?
>
>
>
> "d) Man berechene die Lösung für [mm]\lambda[/mm] = 1 "
>
> Da komme ich auf Werte von [mm]x_1[/mm] = [mm]-\bruch{7}{10}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = 1 und [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo Fred,
also irgendwie bin ich langsam am verzweifeln mit der Aufgabe..
Hätte ich die Cramersche Regel für Aufgabenteil a) anwenden müssen?
Wie kann ich denn bei diesem Fall die Aufgabe b) berechnen?
Das ist für mich ziemlich verwirrend mit mein paar Jahren Matheunterricht..
Danke euch allen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 03.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> also irgendwie bin ich langsam am verzweifeln mit der
> Aufgabe..
>
> Hätte ich die Cramersche Regel für Aufgabenteil a)
> anwenden müssen?
>
> Wie kann ich denn bei diesem Fall die Aufgabe b) berechnen?
>
> Das ist für mich ziemlich verwirrend mit mein paar Jahren
> Matheunterricht..
>
> Danke euch allen
Ist A eine nxn- Matrix und b [mm] \in \IR^n, [/mm] so betrachten wir das LGS
(*) Ax=b.
det(A) [mm] \ne [/mm] 0, so kannst Du die Cramersche Regel anwenden, um die eindeutig bestimmte Lösung von (*) zu berechnen.
Im Falle det(A)=0 gibt es keine Cramersche Regel.
Bei Deinem obigen LGS hängt die Matrix A noch von [mm] \lambda [/mm] ab.
Wir wissen schon: det(A) [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] ( [mm] \lambda \ne [/mm] 3 und [mm] \lambda \ne [/mm] -3/2)
In diesen Fällem ist das LGS eindeutig lösbar.
2. Fall: [mm] \lambda=3. [/mm] Lasse Gauß auf das LGS los, dann solltest Du sehen, dass das LGS mehrdeutig lösbar ist.
3. Fall: [mm] \lambda=-3/2. [/mm] Lasse Gauß auf das LGS los, dann solltest Du sehen, dass das LGS unlösbar ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Ich wage einen letzten Versuch:
Aufgabe a)
Mit Sarrus komme ich auf [mm] 4x^2 [/mm] -6x -18
Die Nullstellen sind demnach [mm] x_1 [/mm] = 3 und [mm] x_2 [/mm] =-1,5
Daraus folgere ich, dass es für alle Zahlen ausser die beiden, eine eindeutige Lösung gibt
Aufgabe b)
Unendliche Lösungen:
Wenn in der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Matrix in der letzten Zeile der Stufenform nur Nullen stehen, habe ich das Ergebnis für die unendliche Lösung.
In diesem Fall habe ich in der letzten Zeile :
[mm] ((x-2)+1-0.5*(\bruch{9+X}{X})) [/mm] stehen und die letzte Zeile der erweiterten Matrix ist [mm] 1-0.5*\bruch{6}{X}
[/mm]
Wenn man für X=3 einsetzt ergibt die letzte Zeile der erweiterten Matrix nur Nullen und somit ist dies die Zahl für die eine unendliche Lösung besteht.
c) Überhaupt keine Lösung:
Überhaupt keine Lösung ist der Fall, wenn in der letzten Zeile der Stufenform der Koeffizientenmatrix nur Nullen stehen, in der erweiterten Matrix in der letzten Zeile jedoch noch ein Ergebnis steht also z.b. die Form 0 0 0 | 4 hat oder ähnliches.
Dies ist nur der Fall wenn ich für X = -1,5 einsetze.
Ist das so richtig?
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> Ich wage einen letzten Versuch:
>
> Aufgabe a)
>
> Mit Sarrus komme ich auf [mm]4x^2[/mm] -6x -18
>
> Die Nullstellen sind demnach [mm]x_1[/mm] = 3 und [mm]x_2[/mm] =-1,5
>
> Daraus folgere ich, dass es für alle Zahlen ausser die
> beiden, eine eindeutige Lösung gibt
Hallo,
ja, richtig.
>
> Aufgabe b)
>
> Unendliche Lösungen:
Unendlich viele Lösungen:
>
> Wenn in der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Matrix
> in der letzten Zeile der Stufenform nur Nullen stehen, habe
> ich das Ergebnis für die unendliche Lösung.
Ich denke, daß Du es richtig meinst, aber so, wie Du es schreibst, stimmt es nicht.
Richtig ist halt, daß der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang de erweiterten Koeffizientenmatrix sein muß.
Wenn die erweiterte Matrix mit Gauß auf Zeilenstufenform gebracht ist,
muß die erweiterte Matrix genausoviele Nullzeilen haben wie die Koeffizientenmatrix.
>
> In diesem Fall habe ich in der letzten Zeile :
>
> [mm]((x-2)+1-0.5*(\bruch{9+X}{X}))[/mm] stehen und die letzte Zeile
> der erweiterten Matrix ist [mm]1-0.5*\bruch{6}{X}[/mm]
???
Ich sehe keine Zeilen...
Poste doch einfach mal die ZSF der erweiterten Koeffizientenmatrix.
>
> Wenn man für X=3 einsetzt ergibt die letzte Zeile der
> erweiterten Matrix nur Nullen und somit ist dies die Zahl
> für die eine unendliche Lösung besteht.
Für [mm] \lambda=3 [/mm] hat das LGS unendlich viele Lösungen.
Seine Lösungsmenge enthält unendlich viele Elemente.
>
> c) Überhaupt keine Lösung:
>
> Überhaupt keine Lösung ist der Fall, wenn in der letzten
> Zeile der Stufenform der Koeffizientenmatrix nur Nullen
> stehen, in der erweiterten Matrix in der letzten Zeile
> jedoch noch ein Ergebnis steht also z.b. die Form 0 0 0 | 4
> hat oder ähnliches.
Ich denke, Du meinst es richtig.
Koeffizientenmatrix und erweiterte Matrix haben verschiedenviele Nullzeilen.
>
> Dies ist nur der Fall wenn ich für X = -1,5 einsetze.
>
> Ist das so richtig?
Ich hab's nicht geprüft, aber es entspricht ja dem, was Fred auch sagte. So seid Ihr schon zu zweit mit diesem Ergebnis.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 03.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo Angela,
was ich meinte war wenn:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 |7\\ 3 & 4 & 5 |8\\ 0 & 0 & 0 |0 }
[/mm]
habe ich die Antwort auf die Frage nach der Zahl mit der ich die unendliche Lösungsmenge bekomme, weil die letzte Zeile aus Nullen besteht
Meine Stufenform der erweiterten Matrix sah am Ende so aus:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 |0 \\ 0 & 2 & \bruch{9+x}{x} |\bruch{6}{x}\\ 0 & 0 & ((x-2)+1-0.5*(\bruch{9+X}{X})) |1-0.5*\bruch{6}{x}}
[/mm]
Der Rang ist
die senkrechten striche sollen die erweiterte matrix darstellen, hoffe das ist zu verstehen.
So, wenn ich nun in der letzten Zeile 3 einsetze, wird die letzte Zeile zu
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 |0 \\ 0 & 2 & \bruch{9+x}{x} |\bruch{6}{x}\\ 0 & 0 & 0 |0}
[/mm]
und somit müsste 3 richtig sein..
wenn ich -1,5 einsetze, kommt raus :
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 |0 \\ 0 & 2 & \bruch{9+x}{x} |\bruch{6}{x}\\ 0 & 0 & 0 |3}
[/mm]
also ist x=-1,5 die antwort für die frage nach "keine Lösung"
so hatte ich mir das versucht darzustellen... ist das ein falsches vorgehen oder komme ich so auf die richtige schiene, auch wenn es mathematisch vielleicht nicht schön ausgedrückt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Do 03.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Die Vorgangsweise is grundsätzlich OK.
Was im Rechengang fehlt ist die Begründung, warum du gerade die Werte 3 und -3/2 einsetzt.
Also, wie oben schon angegeben, die Nullstellen des Terms
[mm] ((x-2)+1-0.5*(\bruch{9+X}{X}))[/mm]
berechnen, da sich hier die Nullenzeile ergibt.
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