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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - LGS mit Parameter
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LGS mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Sa 07.09.2019
Autor: Hanz

Aufgabe
Das LGS mit den Variablen x,y,z enthält einen Parameter a. Untersuche, für welche Werte von a dieses LGS keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.

[mm] \vmat{ x + & ay + & z & = 0 \\ ax + & 2y + & z & = 1 \\ x + & 2ay + & az & = a } [/mm]

Hallo,

wenn man das LGS mit dem CAS auf Zeilenstufenform bringt, dann erhält man folgende Lösung:

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & 0 & |-\frac{1}{a-2} \\ 0 & 0 & 1 & |\frac{a}{a-2} } [/mm]

Jetzt würde ich folgern:

Keine Lösung für a=2
Eindeutige Lösung für [mm] a\not= [/mm] 2
Unendlich viele Lösungen niemals.

ABER: Gucke ich mir die Matrix an, dann stellt man fest: Für a=1 entsteht eine Nullzeile und damit unendlich viele Lösungen.

Warum kriege ich diesen Fall mit der Zeilenstufenform nicht gelöst?

MfG


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
LGS mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Sa 07.09.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also mein "CAS" spuckt mir deine Lösung für den Fall $|a| [mm] \not=1$ [/mm] aus. Der Fall a=1 und a=-1 wird gesondert betrachtet...

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
LGS mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:52 So 08.09.2019
Autor: Hanz

Danke, jetzt habe ich es verstanden!

Hab es mit nochmals mit dem TI-Nspire CX CAS gelöst und er gibt zumindest eine Warnung aus, dass ggf. noch andere Ergebnisse existieren, sagt mir aber nicht welche.

Mfg!

Bezug
        
Bezug
LGS mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Sa 07.09.2019
Autor: Marc

Hallo Hanz,

> Warum kriege ich diesen Fall mit der Zeilenstufenform nicht
> gelöst?

Aus dem End-Tableau kann man ja nicht erkennen, welche zusätzlichen Bedingungen an den Parameter während der Rechnung gestellt wurden, oder anders ausgedrückt: Nicht jede Bedingung muss sich im End-Tableau durch z.B. eine Definitionslücke niederschlagen.
Bei deiner Rechnung wird das CAS z.B. irgendwann mal durch $a-1$ geteilt haben, aber der dadurch entstandene Term ist in Folge weiterer Zeilenumformungen verschwunden.

Ein Minimalbeispiel mit einer Gleichung und einer Unbekannten:

( a | 0 )  | :a

Zeilenstufenform:
( 1 | 0)
Am End-Tableau kann man die Bedingung [mm] $a\not=0$ [/mm] (mit der man ja überhaupt nur durch a teilen kann) nicht mehr erkennen.

Aber eigentlich müsste das CAS beim End-Tableau alle zusätzlichen Bedingungen aufzählen, also [mm] $a\not=1$, $a\not=-1$, $a\not=2$. [/mm]

Daher bin ich auch etwas von der Ausgabe von WolframAlpha (siehe Gonos Link [1]) enttäuscht, wenn ich es aufrufe, steht bei mir erst dein End-Tableau mit "generic result" und dann werden Spezialfälle für $a=1$ und $a=-1$ genannt.

Welches CAS hast du genutzt?

Viele Grüße
Marc

[1] []Gonos Link

Bezug
                
Bezug
LGS mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 So 08.09.2019
Autor: Hanz

Vielen Dank für die Antwort und Hilfe, habe jetzt meinen Denkfehler erkannt, da ich es nun mit den TI-Nspire CX CAS nochmals gerechnet habe und dieser gibt zumindest eine Warnmeldung raus, dass evtl. noch weitere Lösungen existieren!

MfG

Bezug
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