LGS mit Parameter < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Sa 07.09.2019 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Das LGS mit den Variablen x,y,z enthält einen Parameter a. Untersuche, für welche Werte von a dieses LGS keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.
[mm] \vmat{ x + & ay + & z & = 0 \\ ax + & 2y + & z & = 1 \\ x + & 2ay + & az & = a } [/mm] |
Hallo,
wenn man das LGS mit dem CAS auf Zeilenstufenform bringt, dann erhält man folgende Lösung:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & 0 & |-\frac{1}{a-2} \\ 0 & 0 & 1 & |\frac{a}{a-2} }
[/mm]
Jetzt würde ich folgern:
Keine Lösung für a=2
Eindeutige Lösung für [mm] a\not= [/mm] 2
Unendlich viele Lösungen niemals.
ABER: Gucke ich mir die Matrix an, dann stellt man fest: Für a=1 entsteht eine Nullzeile und damit unendlich viele Lösungen.
Warum kriege ich diesen Fall mit der Zeilenstufenform nicht gelöst?
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
also mein "CAS" spuckt mir deine Lösung für den Fall $|a| [mm] \not=1$ [/mm] aus. Der Fall a=1 und a=-1 wird gesondert betrachtet...
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 So 08.09.2019 | | Autor: | Hanz |
Danke, jetzt habe ich es verstanden!
Hab es mit nochmals mit dem TI-Nspire CX CAS gelöst und er gibt zumindest eine Warnung aus, dass ggf. noch andere Ergebnisse existieren, sagt mir aber nicht welche.
Mfg!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Sa 07.09.2019 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanz,
> Warum kriege ich diesen Fall mit der Zeilenstufenform nicht
> gelöst?
Aus dem End-Tableau kann man ja nicht erkennen, welche zusätzlichen Bedingungen an den Parameter während der Rechnung gestellt wurden, oder anders ausgedrückt: Nicht jede Bedingung muss sich im End-Tableau durch z.B. eine Definitionslücke niederschlagen.
Bei deiner Rechnung wird das CAS z.B. irgendwann mal durch $a-1$ geteilt haben, aber der dadurch entstandene Term ist in Folge weiterer Zeilenumformungen verschwunden.
Ein Minimalbeispiel mit einer Gleichung und einer Unbekannten:
( a | 0 ) | :a
Zeilenstufenform:
( 1 | 0)
Am End-Tableau kann man die Bedingung [mm] $a\not=0$ [/mm] (mit der man ja überhaupt nur durch a teilen kann) nicht mehr erkennen.
Aber eigentlich müsste das CAS beim End-Tableau alle zusätzlichen Bedingungen aufzählen, also [mm] $a\not=1$, $a\not=-1$, $a\not=2$.
[/mm]
Daher bin ich auch etwas von der Ausgabe von WolframAlpha (siehe Gonos Link [1]) enttäuscht, wenn ich es aufrufe, steht bei mir erst dein End-Tableau mit "generic result" und dann werden Spezialfälle für $a=1$ und $a=-1$ genannt.
Welches CAS hast du genutzt?
Viele Grüße
Marc
[1] ![[]](/images/popup.gif) Gonos Link
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 So 08.09.2019 | | Autor: | Hanz |
Vielen Dank für die Antwort und Hilfe, habe jetzt meinen Denkfehler erkannt, da ich es nun mit den TI-Nspire CX CAS nochmals gerechnet habe und dieser gibt zumindest eine Warnmeldung raus, dass evtl. noch weitere Lösungen existieren!
MfG
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