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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - LGS mit Parameter
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LGS mit Parameter: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 So 15.05.2005
Autor: floriantt

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Geben Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit vom Parameter r an.
  7 * [mm] x_{1} [/mm] -  3 * [mm] x_{2} [/mm] +   r * [mm] x_{3} [/mm] = 29
70 * [mm] x_{1} [/mm]   + 2 * [mm] x_{2} [/mm] +   5 * [mm] x_{3} [/mm] = r
19 * [mm] x_{1} [/mm] +       [mm] x_{2} [/mm] + 16 *  [mm] x_{3} [/mm] = 41

Wer kann mir helfen? Ich sitze jetzt schon seid Stunden an dieser Aufgabe und bekomme nichts richtiges heraus. Gibt es eine Möglichkeit das r zu entfernen?? Ich komme einfach nicht drauf.
Hoffe das mir jemand wenigstens einen nützlichen Tipp geben kann.

MfG
floriantt
        
Bezug
LGS mit Parameter: Parameter wie konstante Zahl!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 So 15.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Florian,

[willkommenmr] !!


Auch wir freuen uns hier über eine nette Anrede / Begrüßung ;-) ...


> Geben Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit vom Parameter r
> an.
>    7 * [mm]x_{1}[/mm] -  3 * [mm]x_{2}[/mm] +   r * [mm]x_{3}[/mm] = 29
>  70 * [mm]x_{1}[/mm]   + 2 * [mm]x_{2}[/mm] +   5 * [mm]x_{3}[/mm] = r
>  19 * [mm]x_{1}[/mm] +       [mm]x_{2}[/mm] + 16 *  [mm]x_{3}[/mm] = 41
>  
> Gibt es eine Möglichkeit das r zu entfernen??

Das $r$ entfernen wollen und können wir gar nicht. Schließlich sollen wir ja gemäß Aufgabenstellung eine Lösung in Abhängigkeit von $r$ angeben, d.h. dieses $r$ wird da auf jeden Fall mit vorkommen.

Am Ende sollte man also erhalten:

[mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] x_1(r) [/mm] \ = \ ...$
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] x_2(r) [/mm] \ = \ ...$
[mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] x_3(r) [/mm] \ = \ ...$

Laß Dich durch das $r$ nicht allzusehr irritieren. Betrachte dies' wie eine feststehende Zahl.

Nun mußt Du das LGS wie gehabt lösen, z.B. mit dem MBGauß-Algorithmus (oder auch Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Gleichsetzungsverfahren).


Beginne also wie immer, z.B. [mm] $x_1$ [/mm] eliminieren durch $[I]*(-10) \ + \ [II]$:

[mm] $32*x_2 [/mm] + [mm] (5-10r)*x_3 [/mm] \ = \ r-290$

usw.


Schaffst Du das nun alleine weiter?

Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
LGS mit Parameter: Eben nicht ;-)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 15.05.2005
Autor: Max

Hallo floriantt,

das was Loddar sagt ist schon fast richtig. Du kannst erst einmal fröhlich darauf losrechen, aber wenn du Gleichungen mit Termen die $r$ enthalten multiplizierst um das Gauß-Verfahren durchzuführen musst du aufpassen - du könntest gegebenenfalls die Gleichung mit $0$ multiplizieren/dividieren. In diesen Fällen ist eine Fallunterschedung für $r$ fällig.

Max
Bezug
        
Bezug
LGS mit Parameter: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Mo 16.05.2005
Autor: floriantt

Hallo erst Mal und vielen Dank,

aber ... ich bin immer noch nicht weiter. Ich finde einfach nicht den richtigen Anfang. Bin mittlerweile beim 20. Versuch und die Zahlen erreichen astronomische Werte, dass kann doch nicht richtig sein.

Wer kann mir noch eine Hilfestellung geben (eventuell Lösungsansatz), ich bin für jede Hilfe dankbar.

Bis badl

Florian
Bezug
                
Bezug
LGS mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Mo 16.05.2005
Autor: Fugre


> Hallo erst Mal und vielen Dank,
>  
> aber ... ich bin immer noch nicht weiter. Ich finde einfach
> nicht den richtigen Anfang. Bin mittlerweile beim 20.
> Versuch und die Zahlen erreichen astronomische Werte, dass
> kann doch nicht richtig sein.
>  
> Wer kann mir noch eine Hilfestellung geben (eventuell
> Lösungsansatz), ich bin für jede Hilfe dankbar.
>  
> Bis badl
>  
> Florian

Hi Florian,

ich würde es zunächst mit dem Determinantenverfahren versuchen.

Wir hätten dann als Determinante:
$D= [mm] \vmat{ 7 & -3 & r \\ 70 & 2 & 5 \\ 19 & 1 & 16}=224-285+70r-38r-35+3360=32r+3264$ [/mm]
Ist diese Determinante [mm] $\not= [/mm] 0$, so hat das System eine eindeutige Lösung.

[mm] $D_1= \vmat{ 29 & -3 & r \\ r & 2 & 5 \\ 41 & 1 & 16}=928-615+r^2-82r-145+48r=r^2-82r+168$ [/mm]
[mm] $D_2= \vmat{ 7 & 29 & r \\ 70 & r & 5 \\ 19 & 41 & 16}$ [/mm]
[mm] $D_3= \vmat{ 7 & -3 & 29 \\ 70 & 2 & r \\ 19 & 1 & 41}$ [/mm]

Diese Determinanten solltest du auch noch lösen können, mein Favorit ist das Jägerzaunverfahren bzw.
die Regel des Sarrus.

Es gilt: [mm] $x_1=\frac{D_1}{D}; x_2=\frac{D_2}{D}; x_3=\frac{D_3}{D}$ [/mm]

Liebe Grüße
Fugre
Bezug
                        
Bezug
LGS mit Parameter: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 Mi 18.05.2005
Autor: floriantt

Ich bedanke mich bei allen die mir geholfen haben.
Mit dem Determinantenverfahren konnte ich zwar nichts anfangen (noch nicht durchgenommen), aber wir haben die Aufgabe jetzt besprochen.

Also danke nochmal,
Florian
Bezug
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