LGS mit Parameter < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] v_1:=(2,1,2)^T v_2:=(1,r,2)^T v_3:=(1,1,r)^T [/mm] und sei [mm] A_r [/mm] Element [mm] R^3^x^3 [/mm] die Matrix, deren i-te Spalte der Vektor [mm] v_i [/mm] ist
1) Sei b = (1,2,-1) Element [mm] R^3^x^1. [/mm] Bestimmen Sie [mm] Lös(A_r,b) [/mm] (in Abhängigkeit von r) |
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \left| 1 \\
1 & r & 1 \left| 2 \\
2 & 2 & r \left| -1
\end{pmatrix}
[/mm]
dann habe ich zweite Zeile mal 2 minus die erste und dritte Zeile minus die erste.
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \left| 1 \\
0 & (2r-1) & 1 \left| 3 \\
0 & 1 & (r-1) \left| -2
\end{pmatrix}
[/mm]
dann habe ich die dritte Zeile mal (2r-1) - die neue zweite Zeile gerechnet.
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \left| 1 \\
0 & (2r-1) & 1 \left| 3 \\
0 & 0 & (2r^2-3r) \left| (-4r-1)
\end{pmatrix}
[/mm]
a) nun meine erste Frage, ist die Rechnung bis hierhin richtig?
b) 1.Fall habe ich falls es bis hierhin richtig ist, 1.Fall r=0 dann haben wir in der letzen Zeile 000 und auf der rechten -1 stehen und daraus folgt nicht lösbar. wie lauten die Ansätze für die eindeutige Lösung und unendlich viele Lösungen? könnte mir das einer kurz sagen?
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Hallo ellegance,
> Seien [mm]v_1:=(2,1,2)^T v_2:=(1,r,2)^T v_3:=(1,1,r)^T[/mm] und sei
> [mm]A_r[/mm] Element [mm]R^3^x^3[/mm] die Matrix, deren i-te Spalte der
> Vektor [mm]v_i[/mm] ist
>
> 1) Sei b = (1,2,-1) Element [mm]R^3^x^1.[/mm] Bestimmen Sie
> [mm]Lös(A_r,b)[/mm] (in Abhängigkeit von r)
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \left| 1 \\
1 & r & 1 \left| 2 \\
2 & 2 & r \left| -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dann habe ich zweite Zeile mal 2 minus die erste und
> dritte Zeile minus die erste.
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \left| 1 \\
0 & (2r-1) & 1 \left| 3 \\
0 & 1 & (r-1) \left| -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dann habe ich die dritte Zeile mal (2r-1) - die neue zweite
> Zeile gerechnet.
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \left| 1 \\
0 & (2r-1) & 1 \left| 3 \\
0 & 0 & (2r^2-3r) \left| (-4r-1) \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> a) nun meine erste Frage, ist die Rechnung bis hierhin
> richtig?
Ja, so stimmts.
> b) 1.Fall habe ich falls es bis hierhin richtig ist, 1.Fall
> r=0 dann haben wir in der letzen Zeile 000 und auf der
> rechten -1 stehen und daraus folgt nicht lösbar. wie
> lauten die Ansätze für die eindeutige Lösung und
> unendlich viele Lösungen? könnte mir das einer kurz
> sagen?
Es gibt noch einen zweiten nicht lösbaren Fall für [mm] r=\tfrac{3}{2}.
[/mm]
Für unendlich viele Lösungen kommt dann nur noch (aus der zweiten Zeile) $2r-1=0$ in Betracht. Das würde ich mal untersuchen.
Ganz bestimmt sogar, falls Du mal ein Erfolgserlebnis brauchst. 
Für alle anderen r (außer den genannten 3 Werten) ist das System eindeutig lösbar.
Grüße
reverend
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hmm, ich habe jetzt ein wenig rumgegooglet. Da bin ich auf folgende "Fälle" gestoßen.
1.Fall: Rang(A) < Rang (A |b) bei meiner Aufgabe wäre das 0 und 3/2
2.Fall: Eindeutig: Rang (A) = Rang (A|b)=3
bei meiner Aufgabe wären es alle R zahlen außer 0, 3/2 und minus 1/4 richtig?
3.Fall: unendlich viele Lösungen:
Rang(A) = Rang (A|b)<3
da meintest du ja, dass ich die zweite Zeile angucken soll. Könnte ich nicht einfach die letze Zeile angucken und beides gleich 0 setzen.
also bei meinem Beispiel, müsste denn r = 0, r= 3/2 und r= - 1/4 sein, um unendlich viele Lösungen zu haben.
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| Aufgabe | Solang bis jemand die andere offene Frage nicht beantwortet hat, habe ich schon weiter gemacht.
Aufgabenteil b) Bestimmen Sie det [mm] A_r. [/mm] Für welche Parameter r ist die Matrix [mm] A_r [/mm] invertierbar? |
Soo da habe ich die Determinante berechnet und bin zum Ergebnis gekommen dass für alle R \ (0, 3/2) die Matrix invertierbar ist,stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 12.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Solang bis jemand die andere offene Frage nicht beantwortet
> hat, habe ich schon weiter gemacht.
> Aufgabenteil b) Bestimmen Sie det [mm]A_r.[/mm] Für welche
> Parameter r ist die Matrix [mm]A_r[/mm] invertierbar?
> Soo da habe ich die Determinante berechnet und bin zum
> Ergebnis gekommen dass für alle R \ (0, 3/2) die Matrix
> invertierbar ist,stimmt das?
Ja, das stimmt. Aber Deine Ausdrucksweise ist katastrophal !
[mm] A_r [/mm] ist invertierbar [mm] \gdw [/mm] $r [mm] \in \IR \setminus \{ 0, \frac{3}{2} \}$
[/mm]
FRED
>
>
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komme ab undzu hier mit dem latex nicht klar deswegen, aber naja. Könntest du mir auch kurz helfen wegen der anderen offenen Frage?
bzgl. der drei Fälle für das LGS?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Fr 15.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mi 13.03.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> hmm, ich habe jetzt ein wenig rumgegooglet. Da bin ich auf
> folgende "Fälle" gestoßen.
>
> 1.Fall: Rang(A) < Rang (A |b) bei meiner Aufgabe wäre das
> 0 und 3/2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2.Fall: Eindeutig: Rang (A) = Rang (A|b)=3
> bei meiner Aufgabe wären es alle R zahlen außer 0, 3/2
> und minus 1/4 richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für $ r [mm] \in \IR \setminus \left\{ 0, \bruch{3}{2} \right\}$ [/mm] stimmt es.
Löse das Gleichungssystem für $r = [mm] -\bruch{1}{4}$.
[/mm]
>
> 3.Fall: unendlich viele Lösungen:
> Rang(A) = Rang (A|b)<3
>
> da meintest du ja, dass ich die zweite Zeile angucken soll.
Wenn Du die dritte Zeile mit (2r - 1) multiplizierst,
musst Du sicherstellen, dass Du nicht mit 0 multiplizierst,
weil das keine Äquvivalenzumformung wäre.
Wenn Du allerdings das Gleichungssystem für $r = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
löst, zeigt sich für dieses r: Rang(A) = Rang(A|b) = 3.
> Könnte ich nicht einfach die letze Zeile angucken und
> beides gleich 0 setzen.
> also bei meinem Beispiel, müsste denn r = 0, r= 3/2 und r=
> - 1/4 sein, um unendlich viele Lösungen zu haben.
Für [mm] $r=-\bruch{1}{4}$ [/mm] ist (-4r-1) = 0.
Für $r = 0$ und [mm] $r=\bruch{3}{2}$ [/mm] ist [mm] $(2r^2-3r) [/mm] = 0$.
Damit Rang(A) = Rang(A|b) < 3 ist, müssen für dasselbe r (-4-1)=0 und [mm] $(2r^2-3r) [/mm] = 0$ sein.
Gruß
meili
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