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| Aufgabe | Bestimmen sie via GJV die Lösungsmenge von
[mm]
\pmat{ 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,6 & 0,1 \\ 0,1 & 0,3 & 0,8} \* \underline{x} = \underline{x} \* \lambda
[/mm]
abhängig von [mm] \lambda\in\IR [/mm] |
Hallo erst mal!
Ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter...
Ich habe die gleichung über
[mm]
\pmat{ 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,6 & 0,1 \\ 0,1 & 0,3 & 0,8 } \* \underline{x} - \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda } \* \underline{x} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
nach
[mm]
\pmat{ 0,7-\lambda & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,6-\lambda & 0,1 \\ 0,1 & 0,3 & 0,8-\lambda } \* \underline{x} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
umgeformt und erhalte dann das LGS
[mm]
\pmat{ 0,7-\lambda & 0,1 & 0,1 & 0 \\ 0,2 & 0,6-\lambda & 0,1 & 0 \\ 0,1 & 0,3 & 0,8-\lambda & 0 }
[/mm]
und jetzt weiß ich einfach nicht wie ich Gauß anwenden kann um auf eine Lösung zu kommen.
Vielleicht bin ich einfach blöd aber ich versuch schon seit 2 stunden das LGS umzuformen.
Wäre für Hilfe sehr dankbar!!!
MfG
bloody
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Hallo bloodyundead!
> Bestimmen sie via GJV die Lösungsmenge von
> [mm]
\pmat{ 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,6 & 0,1 \\ 0,1 & 0,3 & 0,8} \* \underline{x} = \underline{x} \* \lambda
[/mm]
>
> abhängig von [mm]\lambda\in\IR[/mm]
> Hallo erst mal!
>
> Ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter...
> Ich habe die gleichung über
>
> [mm]
\pmat{ 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,6 & 0,1 \\ 0,1 & 0,3 & 0,8 } \* \underline{x} - \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda } \* \underline{x} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
>
> nach
>
> [mm]
\pmat{ 0,7-\lambda & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,6-\lambda & 0,1 \\ 0,1 & 0,3 & 0,8-\lambda } \* \underline{x} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
>
> umgeformt und erhalte dann das LGS
>
> [mm]
\pmat{ 0,7-\lambda & 0,1 & 0,1 & 0 \\ 0,2 & 0,6-\lambda & 0,1 & 0 \\ 0,1 & 0,3 & 0,8-\lambda & 0 }
[/mm]
>
> und jetzt weiß ich einfach nicht wie ich Gauß anwenden kann
> um auf eine Lösung zu kommen.
Ich fange bei Gauß immer ganz unten an und mache dort den ersten Eintrag zu 0. Also in deinem Fall müsstest du die letzte Zeile minus 0,5 mal die zweite Zeile rechnen. Dann machst du den ersten Eintrag der zweiten Zeile zu 0, und dann kannst du den zweiten Eintrag in der dritten Zeile zu 0 machen usw..
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Danke schonmal!
Dein vorgehen ist mir soweit klar, nur jetzt hab ich ein Problem.
Ich habe jetzt das LGS zu
[mm]
\pmat{ 0,7-\lambda & 0,1 & 0,1 & 0 \\ 0,2 & 0,6-\lambda & 0,1 &0 \\ 0 & 0,5\lambda & 0,75-\lambda & 0 }
[/mm]
umgeformt.
Mein Problem ist jetzt in der zweiten Zeile die 0 zu erzeugen. mit welchem Faktro * Zeile1 muss ich Zeile2 addieren??? Ich komm einfach nicht drauf.
MfG
bloody
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Hallo bloodyundead!
> Danke schonmal!
>
> Dein vorgehen ist mir soweit klar, nur jetzt hab ich ein
> Problem.
> Ich habe jetzt das LGS zu
>
> [mm]
\pmat{ 0,7-\lambda & 0,1 & 0,1 & 0 \\ 0,2 & 0,6-\lambda & 0,1 &0 \\ 0 & 0,5\lambda & 0,75-\lambda & 0 }
[/mm]
>
> umgeformt.
>
> Mein Problem ist jetzt in der zweiten Zeile die 0 zu
> erzeugen. mit welchem Faktro * Zeile1 muss ich Zeile2
> addieren??? Ich komm einfach nicht drauf.
Hehe. *g* 
Naja, nennen wir den gesuchten Faktor mal a, dann soll ja gelten:
[mm] 0,2-a(0,7-\lambda)=0
[/mm]
und das musst du einfach nur nach a auflösen:
[mm] \gdw 0,2-0,7a+a\lambda=0
[/mm]
[mm] \gdw a(\lambda-0,7)=-0,2
[/mm]
[mm] \gdw a=\br{-0,2}{\lambda-0,7}
[/mm]
Alles klar? 
Viele Grüße
Bastiane
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Alles klar!!!
Komm mir jetzt n bisschen dumm vor, dass ich auf des nicht selber drauf gekommen bin. :)
Ein riesen Dankeschön an dich!!!
MfG
bloody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Do 11.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
mir ist beim Lesen gerade aufgefallen, daß [mm] $\lambda$ [/mm] ja in dieser Aufgabe ein Element aus [mm] $\IR$ [/mm] sein soll. Dann braucht man hier aber doch eine Fallunterscheidung, wenn man durch [mm] $\lambda [/mm] - 0,7$ teilen möchte, oder? Das ist zwar kein Problem, aber man macht sich an dieser Stelle vielleicht etwas zu viel Arbeit, weil man auch noch anders vorgehen kann: Zweite Zeile $5(0,7 - [mm] \lambda)$-mal [/mm] von der ersten abziehen und dann die erste und zweite Zeile tauschen. Das klappt auch für $0,7 - [mm] \lambda [/mm] = 0$. Ich habe das mal weitergerechnet und komme ohne Fallunterscheidungen auf eine Matrix in reduzierter Zeilenstufenform, wo in der dritten Spalte unten ein quadratischer Ausdruck [mm] $p(\lambda)$ [/mm] steht. (Sogar nicht irgendein Ausdruck, sondern das charakteristische Polynom der ursprünglichen Matrix -- jedenfalls wenn ihr $p$ normiert). An dieser Stelle muß man jetzt doch Fälle unterscheiden. Falls [mm] $\lambda$ [/mm] eine Nullstelle von $p$ ist, stehen in der letzten Zeile nur Nullen und der Lösungsraum ist eindimensional. Die Lösungen kann man dann wie üblich ablesen. Falls [mm] $p(\lambda) \neq [/mm] 0$ ist, hat das System vollen Rang, und es gibt genau eine Lösung.
Ich hoffe, das hilft.
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