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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Do 21.10.2004 | | Autor: | Dine |
Hallo Ihr,
Ich habe eine Frage zu einem Satz aus der Vorlesung. Und zwar steht dort: Ax=b besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn det(A) ungleich 0 ist!
Wenn nun aber det(A) = 0 ist, gibt es dann mehrere oder keine LR-Zerlegung zu A??
Beispiel: [mm] \pmat{ 2 & 1 & -2 \\ 4 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & 11 }
[/mm]
Wenn ich die LR-Zerlegung durchführe tritt in der Mitte (also beim 2. Pivotelement) eine 0 auf! Jetzt weiß ich nicht, was ich damit anfangen sol!
Meine Lösung hierzu ist nun:
L = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 }
[/mm]
R = [mm] \pmat{ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 17 }
[/mm]
Meiner Meinung nach ist dies auch die einzige, eindeutige Lösung!!
Aber nach dem Satz in der Vorlesung kann das ja nicht sein!
Über Hilfe wäre ich sehr erfreut und dankbar!!
Mit freundlichen Grüßen
Dine
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Hallo Dine,
> Ich habe eine Frage zu einem Satz aus der Vorlesung. Und
> zwar steht dort: Ax=b besitzt genau dann eine eindeutige
> Lösung, wenn det(A) ungleich 0 ist!
> Wenn nun aber det(A) = 0 ist, gibt es dann mehrere oder
> keine LR-Zerlegung zu A??
Schau mal unter ![[]](/images/popup.gif) folgendem Link nach.
Der Java-Rechner dort kriegt im Grunde die gleichen Ergebnisse wie du.
Allerdings sind bei ihm einige Stellen undefiniert (NaN steht für Not a Number). Vielleicht hilft dir das weiter.
Viele Grüße
Karl
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Hallo Dine,
Ax=b
LRx=b
[mm] Rx=L^{-1}b
[/mm]
Kannst Du in deinem Beispiel nun [mm] R^{-1} [/mm] bilden um auf
[mm] x=R^{-1}L^{-1}b
[/mm]
und somit die Lösung des Gleichungssystems zu kommen?
gruß
matheaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 09.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Sorry, dass ich hier in einen alten Strang schreibe, aber ich glaube, ich habe fast das gleiche Problem.
Die Frage ist, ob die LR-Zerlegung auch für singuläre Matrizen eindeutig ist.
Das Beispiel, was oben steht, wäre ja ein Gegenbeispiel, wobei ich dachte, bei einer rechten oberen Dreiecksmatrix müssten alle Digaonalelement 0 sein. Oder vertue ich mich da, und sie dürfen alles sein, nur bei der linken unteren müssen sie 1 sein?
Jedenfalls frage ich mich auch, was das mit der Lösbarkeit eines Gleichungssystems zu tun hat. Also, wenn die Determinante = 0 ist, heißt das doch, dass es nicht lösbar ist. Oder nur nicht eindeutig lösbar? Und wenn es nun mehrere LR-Zerlegungen gibt, gibt es dann mehrere Lösungen für das Gleichungssystem?
Wäre schön, wenn mir jemand das erklären könnte.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Di 09.11.2004 | | Autor: | Dine |
Hallo Bastiane,
Eine LR-Zerlegung ist nur dann eindeutig, wenn det(A) ungleich 0.
falls det(A) = 0 kann es mehr LR-Zerlegungen geben!!
Bei einer rechten oberen Dreiecksmatrix ist es egal , welche Elemente auf der Diagonalen stehen! Und bei der linken unteren Dreiecksmatrix müssen Einsen auf der Hauptdiagonalen stehen!
ich bin mir auch ziemlich sicher, dass es mehrere Lösungen für das Gleichungssystem gibt, falls es mehrere LR-Zerlegungen gibt.
Indem du einfach das Gegenbeispiel angibst, hast du ja schon gezeigt, dass die LR-Zerlegung nicht eindeutig ist, sondern, dass es mehrere LR-Zerlegungen gibt!!
Ich hoffe, dass meine Antwort nicht alzu verwirrend ist und dir weiterhilft!
MFG Dine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dine!
> Eine LR-Zerlegung ist nur dann eindeutig, wenn det(A)
> ungleich 0.
Damit hätte ich ja dann schon mal die Lösung! (nur der Beweise fehlte noch...)
> falls det(A) = 0 kann es mehr LR-Zerlegungen geben!!
> Bei einer rechten oberen Dreiecksmatrix ist es egal ,
> welche Elemente auf der Diagonalen stehen! Und bei der
> linken unteren Dreiecksmatrix müssen Einsen auf der
> Hauptdiagonalen stehen!
Ja, sorry, ich hatte mich da irgendwie vertan. Keine Ahnung warum, hatte es mittlerweile dann schon selbst festgestellt (schließlich hatte ich auf dem letzten Ü-Blatt eine LR-Zerlegung gemacht, und da war die Diagonale natürlich nicht 0...). Aber danke trotzdem!
> ich bin mir auch ziemlich sicher, dass es mehrere Lösungen
> für das Gleichungssystem gibt, falls es mehrere
> LR-Zerlegungen gibt.
Ja, das denke ich auch. Und wenn wir beide das schon denken, dann wird es bestimmt auch stimmen. 
> Indem du einfach das Gegenbeispiel angibst, hast du ja
> schon gezeigt, dass die LR-Zerlegung nicht eindeutig ist,
> sondern, dass es mehrere LR-Zerlegungen gibt!!
Ja, danke, das wollte ich auch so machen (damit wäre dann der Beweis gegen die Eindeutigkeit auch erbracht ). Nur weil jemand anders meinte, andere von uns hätten schon ein Gegebenbeispiel gesucht und nicht gefunden, dachte ich, vielleicht ist doch irgendwas falsch. Aber du bestätigst mir das ja hiermit. 
> Ich hoffe, dass meine Antwort nicht alzu verwirrend ist und
> dir weiterhilft!
Nein, überhaupt nicht verwirrend. Vielen Dank! Hatte es mir genau so erhofft und denke, damit habe ich es richtig verstanden.
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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