LR-Zerlegung Wie macht man das < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Source: Wiki
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1 } [/mm] = L.R = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 1 } [/mm] . [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 } [/mm] |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Na ja, ich habe das folgende Aufgabe: ich muss eine LR-Zerlegung per Hand ohne Zeilentausch berechnen. Leider weiß ich nicht wie man das macht. Das obige Beispiel hab ich aus Wiki genommen da es einfeich sein soll (für mich aber nicht).
Wie ich in diesem Beispiel sehe, muss man zuerst das untere linke Teil der Matrix nehmen inkl. der Matrixdiagonal. Da bildet man eine Matrix von dieses Teil und ersetzt man alle Elemente über der Diagonal mit 0. Einer der Sachen die ich hier nicht verstehe ist wie man die zweite Matrix gebildet wird. Warum Ist hier der Diagonal anders und auch einigen von den anderen Elementen über ihm?
Das mit der Permutationsmatrix verstehe ich auch nicht. Wie löst man die Gleichung P.A = L.R?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo Aleksander,
erstmal vorweg: die erste Matrix (ich nenne sie im folgenden L-Matrix) ist nicht immer automatisch einfach der linke untere Teil der Ursprungsmatrix, das ist bei dem Beispiel nur zufällig so.
Kennst du den Gauß-Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen? Die LR-Zerlegung ist im Grunde nichts anderes.
Ich gehe ihn mal an dem Beispiel Schritt für Schritt mit dir durch
Du schaust dir in deiner Ursprungsmatrix A die Einträge unterhalb der Diagonalen an, und wir arbeiten immer eine Spalte ab und dann die nächste usw..
Also fangen wir in der ersten Spalte an.
Und da ist der erste Eintrag unterhalb der Diagonalen die 1 in der zweiten Spalte, den Eintrag [mm] a_{2,1} [/mm] (2.Zeile, 1.Spalte).
Jetzt musst du dir den Diagonaleintrag in der aktuellen Spalte anschauen, [mm] a_{1,1}=1: [/mm] mit welchem Faktor musst du [mm] a_{1,1} [/mm] multiplizieren, um [mm] a_{2,1} [/mm] zu erhalten? das ist [mm] l_{2,1}, [/mm] hier =1,, der Eintrag, den du an diese Stelle in die L-Matrix schreibst.
Jetzt musst du mit A noch folgendes machen: ziehe von der zweiten Zeile das [mm] l_{2,1} [/mm] - fache der 1.Zeile ab.
Dann schaut dein "neues" A so aus:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 3 & 1 } [/mm] $
Das gleiche machst du jetzt mit dem nächsten Eintrag, der 3 auf Position [mm] a_{3,1}:
[/mm]
[mm] l_{3,1}=\frac{a_{3,1}}{a_{1,1}}
[/mm]
und dann noch das [mm] l_{3,1} [/mm] - fache der ersten Zeile von der dritten Zeile abziehen. Das wieder neue A schaut jetzt so aus:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & -8 } [/mm] $
Jetzt müssen wir uns noch die nächste Spalte anschauen.
Da gibt es nur noch einen eintrag unter der Diagonalen, nämlich [mm] a_{2,3}=-3. [/mm] Und das zugehörige Diagonalelement der Spalte ist [mm] a_{2,2}=-1.
[/mm]
Also ist [mm] l_{2,3}=\frac{a_{2,3}}{a_{2,2}}=3
[/mm]
Jetzt wieder das [mm] l_{2,3} [/mm] - fache der 2.Zeile (immer die Zeile, aus dem das Diagonalelemnt stammt!) von der 3.Zeile abziehen. Jetzt hats du eine rechte obere Dreiecksmatrix, genau das R, das du suchst:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 } [/mm] $
Und L besteht aus 1ern auf der Diagonalen und den Einträgen [mm] l_{i,j}, [/mm] die wir berechnet haben, unterhalb der Diagonalen.
Soweit klar?
Viele Grüße,
Vreni
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Ja, es ist klar :) Na ja, die Gauß-Algorithmus kenne ich...Aber etwas ist mir hier nicht ganz klar...Muss es immer 0s unter der Diagonal stehen. Oder können auch andere Ziffern stehen. Was passiert wenn die Matrix nicht so vereinfacht werden kann, z.B:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 }
[/mm]
statt
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 } [/mm] ?
(hier kann das vereinfacht, aber das gebe ich nur als Beispiel).
Vielen Dank für die Erklärerung. Natürlich brauche ich mehr ;)
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Ich glaube ich habe es ENDLICH verstanden :) Bald werde ich meine ausführliche Ergebnisse für den Beisplie aus der Wiki hier posten. Danke sehr Leute! Heute hab ich auch erfahren, dass man mit LR-Zerlegung Determinante doppelt so schnell berechnen kann, als das übliche Methode! Das wird mir auch für mein LA-Prüfung helfen ;)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:56 So 11.05.2008 | | Autor: | rbaleksandar |
Und was kommt nach der Gauss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 So 11.05.2008 | | Autor: | MacMath |
Was meinst du mit "nach der Gauss?"
Die Nullen unter der Diagonalen von R sind wichtig, ebenso wie die oberhalb der Diag. von L, darum sind die Buchstaben so gewählt: L ist Linke untere Dreiecksmatrix, R eine rechte obere Dreiecksmatrix.
Man kann diese Form auch immer erreichen, allerdings kann es unter Umständen nötig sein Zeilenvertauschungen durchzuführen.
("Spaltenpivotisierung")
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Okay, also nach diese Umformungen mache ich das folgende:
Für R baue ich die mit Gauß vereinfachte Matrix mit 0s unter der Diagonale. Für L baue ich eine Matrix, deren Diagonal ich aus der ursprüngliche Matrix nehme und auch alles unter der Diagonal. Das obere Teil der Matrix lasse ich mit 0s.
Also (ein bisschen unübersichtlich - nur eine Skizze):
[mm] \pmat{ X & \lambda & \mu \\ a & X & \nu \\ b & c & X \\ } [/mm] = L.R = [mm] \pmat{ X & 0 & 0 \\ a & X & 0 \\ b & c & X \\ } [/mm] . [mm] \pmat{ q & x & y \\ 0 & r & z \\ 0 & 0 & s \\ }, [/mm] wo X-X-X der Diagonal der Matrix ist, [mm] \lambda, \mu, \nu [/mm] sind Elemente, die sich nach der Andwendung des Algorithmus im x,y und z verwandeln, und q,r,s ist der Diagonal der R-Matrix nach Gauß.
Hab ich das richtig verstanden?
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Hallo rbaleksandar,
> Okay, also nach diese Umformungen mache ich das folgende:
>
> Für R baue ich die mit Gauß vereinfachte Matrix mit 0s
> unter der Diagonale. Für L baue ich eine Matrix, deren
> Diagonal ich aus der ursprüngliche Matrix nehme und auch
> alles unter der Diagonal. Das obere Teil der Matrix lasse
> ich mit 0s.
> Also (ein bisschen unübersichtlich - nur eine Skizze):
> [mm]\pmat{ X & \lambda & \mu \\ a & X & \nu \\ b & c & X \\ }[/mm]
> = L.R = [mm]\pmat{ X & 0 & 0 \\ a & X & 0 \\ b & c & X \\ }[/mm] .
> [mm]\pmat{ q & x & y \\ 0 & r & z \\ 0 & 0 & s \\ },[/mm] wo X-X-X
> der Diagonal der Matrix ist, [mm]\lambda, \mu, \nu[/mm] sind
> Elemente, die sich nach der Andwendung des Algorithmus im
> x,y und z verwandeln, und q,r,s ist der Diagonal der
> R-Matrix nach Gauß.
>
> Hab ich das richtig verstanden?
Ja.
Üblicherweise besetzt man die Diagonale von L mit 1en.
[mm]\pmat{ X & \lambda & \mu \\ a & X & \nu \\ b & c & X \\ } = L.R = \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \\ }.\pmat{ q & x & y \\ 0 & r & z \\ 0 & 0 & s \\ },[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo :)
Okay, aber was hier die Permutationsmatrix zu tun? Es gibt eine Gleichung P.A = L.R, wo P die Permutationsmatrix zu A ist....Das verstehe ich auch nicht... :(
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Hallo rbaleksandar,
> Hallo :)
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> Okay, aber was hier die Permutationsmatrix zu tun? Es gibt
> eine Gleichung P.A = L.R, wo P die Permutationsmatrix zu A
> ist....Das verstehe ich auch nicht... :(
Nun, bevor man eine LR-Zerlegung einer Matrix A machen kann, ist diese vorher geeignet zu permutieren, d.h. Zeilenvertauschungen durchzuführen, deshalb steht da [mm]P.A=L.R[/mm]
Gruß
MathePower
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Na ja, MathePower .... In der Aufgabe steht deutlich "ohne Zeilenvertauschung" und die Permutationsmatrix ist genau das - eine Matrix, die man nach n-mal Zeilenvertauschungen der ursprüngliche Matrix bekommt...
Gruß,
rbaleksandar
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Ach ja und noch etwas. Meine Aufgabe ist die LR-Zerlegung einer Matrix zu berechnen ohne Zeilentausch...Was bedeutet das? Okay, hier ist meine Lösung (nicht perfekt, aber ich hoffe, dass es wenigstens richtig ist ;)):
A = [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 8 & 18 \\ 2 & 16 & 54 }.
[/mm]
Also:
1) Zuerst 1.Zeile mit (-1) multiplizieren und zur der 2.Zeile addieren. Da bekommt man: [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 2 & 16 & 54 }
[/mm]
2) Dann 1.Zeile wieder mit (-1) multiplizieren und zur der 3.Zeile addieren. Hier bekommt man: [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 12 & 48 }
[/mm]
3)Als leztes multipliziere ich 2.Zeile mit (-3) und addiere ich das Ergebniss mit der 3.Zeile. So bekommt man: [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }.
[/mm]
(hier oder am Anfang kann man mit 1/2 multiplizieren aber es ist egal :))
Also jetzt habe ich:
A = L.R = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 2 & 16 & 54 }.\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 } [/mm] Na hier kommt diese Permutationsmatrix im Spiel, sonst klappt es nicht, da [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 8 & 18 \\ 2 & 16 & 54 }\not=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 2 & 16 & 54 }.\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }.
[/mm]
Deshalb frage ich was diese Permutationsmatrix hier ist? Mit die wird es richtig sein. Die Gleichung lautet P.A = L.R.
Also?
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Hallo rbaleksandar,
> Ach ja und noch etwas. Meine Aufgabe ist die LR-Zerlegung
> einer Matrix zu berechnen ohne Zeilentausch...Was bedeutet
> das? Okay, hier ist meine Lösung (nicht perfekt, aber ich
> hoffe, dass es wenigstens richtig ist ;)):
Ohne Zeilentausch heißt, das die Permutationsmatrix P die Einheitsmatrix ist.
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 8 & 18 \\ 2 & 16 & 54 }.[/mm]
>
> Also:
>
> 1) Zuerst 1.Zeile mit (-1) multiplizieren und zur der
> 2.Zeile addieren. Da bekommt man: [mm]\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 2 & 16 & 54 }[/mm]
>
> 2) Dann 1.Zeile wieder mit (-1) multiplizieren und zur der
> 3.Zeile addieren. Hier bekommt man: [mm]\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 12 & 48 }[/mm]
>
> 3)Als leztes multipliziere ich 2.Zeile mit (-3) und addiere
> ich das Ergebniss mit der 3.Zeile. So bekommt man: [mm]\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }.[/mm]
>
> (hier oder am Anfang kann man mit 1/2 multiplizieren aber
> es ist egal :))
>
> Also jetzt habe ich:
>
> A = L.R = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 2 & 16 & 54 }.\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }[/mm]
> Na hier kommt diese Permutationsmatrix im Spiel, sonst
> klappt es nicht, da [mm]\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 8 & 18 \\ 2 & 16 & 54 }\not=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 2 & 16 & 54 }.\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }.[/mm]
>
> Deshalb frage ich was diese Permutationsmatrix hier ist?
> Mit die wird es richtig sein. Die Gleichung lautet P.A =
> L.R.
>
> Also?
Du hast jetzt durch Zeilenmanipulationen erreicht, dass Du eine rechte obere Dreiecksmatrix R hast.
Und Zeilenmanipulationen werden durch Linksmultiplikation an einer Matrix Z an eine Matrix A erreicht.
Die Matrix Z hast Du mittels Gauss schon, wobei Z das Produkt von ![[]](/images/popup.gif) Elementarmatrizen ist.
[mm]Z\underbrace{\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 8 & 18 \\ 2 & 16 & 54 }}_{A}=\underbrace{\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }}_{R}[/mm]
Wir haben also die Gestalt [mm]Z*A=R[/mm]
Wir wollen erreichen, daß [mm]A=L*R[/mm]
Linksmultiplikation mit der Inversen von Z:
[mm]Z^{-1} | \ Z*A=R \Rightarrow A=Z^{-1}*R=L*R[/mm]
Damit gilt [mm]L=Z^{-1}[/mm]
Gruß
MathePower
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Tja, hier ist es mir noch nicht klar, wo die Permutations matrix im Spiele kommt und wie man dieses PA = LR berechnet. Und auch dieses Z...Welcher Typ von Elementarmatrix ist das hier? Und wie findet man Z genau?
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Hallo rbaleksandar,
> Tja, hier ist es mir noch nicht klar, wo die Permutations
> matrix im Spiele kommt und wie man dieses PA = LR
> berechnet. Und auch dieses Z...Welcher Typ von
> Elementarmatrix ist das hier? Und wie findet man Z genau?
Die Permutationsmatrix kommt hier nicht ins Spiel, da hier ausdrücklich verlangt ist, daß man die LR-Zerlegung ohne Zeilentausch berechnen soll.
Nun zu der Matrix Z:
Im diesem Post addierst Du im ersten Schritt das (-1)-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile.
Das entspricht dann:
[mm]\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}}_{E_{1}} \underbrace{\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 8 & 18 \\ 2 & 16 & 54 }}_{A} = \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 2 & 16 & 54 } =:A_{1}[/mm]
Im 2. Schritt addierst Du das (-1)-fache der ersten Zeile zur 3. Zeile der Matrix [mm]A_{1}[/mm]
[mm]\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1}}_{E_{2}}\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 2 & 16 & 54 }= \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 12 & 48 } =:A_{2}[/mm]
Im 3. Schritt addierst Du das (-3)-fache der 2. Zeile zur 3. Zeile:
[mm]\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1}}_{E_{3}} \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 12 & 48 } = \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }=:A_{3}=R[/mm]
Nun gilt
[mm]A_{3}=R=E_{3}*A_{2}=E_{3}*\left(E_{2}*A_{1}\right)=E_{3}*E_{2}*A_{1}=E_{3}*E_{2}*\left(E_{1}*A\right)=\underbrace{E_{3}*E_{2}*E_{1}}_{Z}*A[/mm]
Gruß
MathePower
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Aaaa :) Jetzt versteh ich. Also für jede Operation, die ich in der Gauß Algorithmus angewendet habe, bilde ich eine Matrix. Hier z.B. habe ich [mm] \underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1}}_{E_{3}} \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 12 & 48 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 } [/mm] für den dritten Schritt. Dieses -3 kommt aus der Tatsache, dass ich mit -3 multipliziert habe (das ist die Operation). Die "Koordinaten" des Elements in der Matrix bestimme ich als der Nummer der Zeilen, mit dem ich diese Operation durchgeführt habe. Hier ist es 2.Zeile mit 3.Zeile. Also mein -3 muss genau auf 2.Spalte - 3.Zeile stehen. So habe ich's verstanden. Die forige Schritte sind auch analog zu dieser: bei der erste Schritt hab ich mit -1 multipliziert (das ist meine Operation), und dann habe ich 1.Zeile mit 3.Zeile addiert, also bekomme ich ein Element, der am Platz 3,1 usw...
Na ja, so bekomme ich [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 } [/mm] für Z.
Dann aber kommt die Frage, die ich fast am Anfang gestellt habe: L.R muss das folgende Gestallt haben:
А = [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i } [/mm] = L.R,
wo L = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ d & 1 & 0 \\ g & h & 1 }.R, [/mm] wo ich R mit Hilfe von Gauss gefunden habe.
Wenn hier Z = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 } [/mm] , dann ist die Inverse [mm] Z^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{adj(Z)}{det(Z)} [/mm] = [mm] 1.\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 }, [/mm] wenn ich mich nichte verrechnet habe...Das bekommt man nach der Formel, den ich vorher erwähnt habe:
A = [mm] \pmat{ X & \lambda & \mu \\ a & X & \nu \\ b & c & X \\ } [/mm] = L.R = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \\ }.\pmat{ q & x & y \\ 0 & r & z \\ 0 & 0 & s \\ }
[/mm]
Das verwirrt mich sehr...Einerseits habe ich L aus [mm] Z^{-1}, [/mm] die ich aus der Produkt von [mm] E_{3}*E_{2}*E_{1} [/mm] = Z bekommen habe. Andererseits habe ich [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \\ }.
[/mm]
???
PS: Vielen Dank für die Mühe etwas in meinem leeren Kopf hineinzustecken :P
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Hallo rbaleksandar,
> Aaaa :) Jetzt versteh ich. Also für jede Operation, die ich
> in der Gauß Algorithmus angewendet habe, bilde ich eine
> Matrix. Hier z.B. habe ich [mm]\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1}}_{E_{3}} \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 12 & 48 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }[/mm] für den
> dritten Schritt. Dieses -3 kommt aus der Tatsache, dass ich
> mit -3 multipliziert habe (das ist die Operation). Die
> "Koordinaten" des Elements in der Matrix bestimme ich als
> der Nummer der Zeilen, mit dem ich diese Operation
> durchgeführt habe. Hier ist es 2.Zeile mit 3.Zeile. Also
> mein -3 muss genau auf 2.Spalte - 3.Zeile stehen. So habe
> ich's verstanden. Die forige Schritte sind auch analog zu
> dieser: bei der erste Schritt hab ich mit -1 multipliziert
> (das ist meine Operation), und dann habe ich 1.Zeile mit
> 3.Zeile addiert, also bekomme ich ein Element, der am Platz
> 3,1 usw...
>
> Na ja, so bekomme ich [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 }[/mm]
> für Z.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann aber kommt die Frage, die ich fast am Anfang gestellt
> habe: L.R muss das folgende Gestallt haben:
> А = [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }[/mm] =
> L.R,
> wo L = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ d & 1 & 0 \\ g & h & 1 }.R,[/mm] wo
> ich R mit Hilfe von Gauss gefunden habe.
>
> Wenn hier Z = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 }[/mm]
> , dann ist die Inverse [mm]Z^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{adj(Z)}{det(Z)}[/mm] =
> [mm]1.\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 },[/mm]
> wenn ich mich nichte verrechnet habe...Das bekommt man nach
> der Formel, den ich vorher erwähnt habe:
> A = [mm]\pmat{ X & \lambda & \mu \\ a & X & \nu \\ b & c & X \\ }[/mm]
> = L.R = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \\ }.\pmat{ q & x & y \\ 0 & r & z \\ 0 & 0 & s \\ }[/mm]
>
> Das verwirrt mich sehr...Einerseits habe ich L aus [mm]Z^{-1},[/mm]
> die ich aus der Produkt von [mm]E_{3}*E_{2}*E_{1}[/mm] = Z bekommen
> habe. Andererseits habe ich [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \\ }.[/mm]
>
> ???
Natürlich kannst Du das auch ohne Gauss machen:
Dazu mußt Du das Matrizenprodukt von L mit R bilden und der Matrix A gegenüberstellen:
[mm]a_{ij}=\summe_{k=1}^{n} l_{ik}*r_{kj}[/mm]
Daraus kannst Du dann Formeln der Koeffizienten in L un R ermitteln.
>
> PS: Vielen Dank für die Mühe etwas in meinem leeren Kopf
> hineinzustecken :P
Gruß
MathePower
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Also, ich glaube ich hab's verstanden. Also Z ist die Matrix, die ich nach dem Anwenden von Gauß bekommen habe. [mm] Z^{-1} [/mm] ist die Inversematrix...
Ich habe diese Formel zur Berechnung des Inverses einer Matrix gesehen:
Wir haben eine Matrix [mm] A^{3x3} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }
[/mm]
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{adj(A)}{det(A)}, [/mm] wo
adj(A) = [mm] \pmat{ ei - fh & ch-bi & bf-ce \\ fg-di & ai-cg & cd-af \\ dh-eg & bg-ah & ae-bd }
[/mm]
und
det(A) = a.e.h + d.h.c. + b.f.g - c.e.g - h.f.a - d.b.i
Na ja, nach einbißchen berechnen habe ich das folgende bekommen:
[mm] Z^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{96}.\pmat{ 48 & -48 & 24 \\ 0 & 24 & -24 \\ 0 & 0 & 8 }
[/mm]
und das ist meiner Meinung nach total falsch :( Was mache ich denn falsch?
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Hallo rbaleksandar,
> Also, ich glaube ich hab's verstanden. Also Z ist die
> Matrix, die ich nach dem Anwenden von Gauß bekommen habe.
> [mm]Z^{-1}[/mm] ist die Inversematrix...
>
> Ich habe diese Formel zur Berechnung des Inverses einer
> Matrix gesehen:
>
> Wir haben eine Matrix [mm]A^{3x3}[/mm] = [mm]\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }[/mm]
>
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{adj(A)}{det(A)},[/mm] wo
>
> adj(A) = [mm]\pmat{ ei - fh & ch-bi & bf-ce \\ fg-di & ai-cg & cd-af \\ dh-eg & bg-ah & ae-bd }[/mm]
>
> und
>
> det(A) = a.e.h + d.h.c. + b.f.g - c.e.g - h.f.a - d.b.i
>
> Na ja, nach einbißchen berechnen habe ich das folgende
> bekommen:
>
> [mm]Z^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{96}.\pmat{ 48 & -48 & 24 \\ 0 & 24 & -24 \\ 0 & 0 & 8 }[/mm]
>
> und das ist meiner Meinung nach total falsch :( Was mache
> ich denn falsch?
Hier hast Du von dieser Matrix [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 12 }[/mm] die Inverse gebildet.
Das ist leider die falsche Matrix.
Siehe meine Antwort in diesem Post.
Gruß
MathePower
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Sorry für die blöde Fragen, aber ich muss alles verstehen, da ich ein Program, das diese Dinge berchnet, schreiben muss :) Und das kann ich nicht machen, wenn ich etwas in der Methode nicht verstehe.
Danke im Voraus.
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Tja, ich hab's noch nicht geschafft :( Da habe ich erfahren, dass L mit irgendwelcher Multiplikator zu tun hat...Nun aber was bedeutet das und wo findet man diesen Multiplikator? Ich glaube den nennt man Pivotelement oder etwas ähnliches...Und benutzt man dieses Pivotelement nur bei Zeilenumtauschung was bei mir hier nicht der Fall ist? Der Beispiel in Wiki http://de.wikipedia.org/wiki/LR-Zerlegung ist ein Zufall, dass man für die Matrix [mm] \pmat{1 & 2 & 3\\1 & 1 & 1\\3 & 3 & 1} [/mm] als L diese [mm] \pmat{1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\3 & 3 & 1} [/mm] als Ergebniss bekommt.
Ich brauche Hilfe. :(
Vielen Dank im Voraus.
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Tja, ich hab's noch nicht geschafft :( Da habe ich erfahren, dass L mit irgendwelcher Multiplikator zu tun hat...Nun aber was bedeutet das und wo findet man diesen Multiplikator? Ich glaube den nennt man Pivotelement oder etwas ähnliches...Und benutzt man dieses Pivotelement nur bei Zeilenumtauschung was bei mir hier nicht der Fall ist? Der Beispiel in Wiki http://de.wikipedia.org/wiki/LR-Zerlegung ist ein Zufall, dass man für die Matrix [mm] \pmat{1 & 2 & 3\\1 & 1 & 1\\3 & 3 & 1} [/mm] als L diese [mm] \pmat{1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\3 & 3 & 1} [/mm] als Ergebniss bekommt.
Im Skript steht, dass die LR-Zerlegung berechnet man, indem wir die enstehende Nullen in der Restmatrix (glaube hier wird die Matrix, die man nach der Anwenudng der Gauss Alg. bekommt) durch ein Multiplikationsfaktor [mm] L_{jk} [/mm] = [mm] \bruch{A^{(k)}_{kj}}{A^{(k)}_{kk}} [/mm] ersetzen.
Das verstehe ich überhaupt nicht. Der Bespiel, der gegeben ist, verwirrt mich mehr. Hier ist er:
Bem:Im rot werden die durch diese Formel für den Multiplikationsfaktor ersetzte Nullen, also die Elemente, die man im L steckt.
Im rot stehen die Elemente, die man im R steckt.
Schritt 1:
[mm] \pmat{2 & -2 & 3 \\-4 & 4 & 3\\3 & -2 & 1}
[/mm]
Schritt 2:
[mm] \pmat{2 & -2 & 3\\-2 & 0 & 9\\ \bruch{3}{2} & 1 & -\bruch{7}{2}}
[/mm]
Bem: Hier ist die erste Zeile im grün und die -2 und [mm] \bruch{3}{2} [/mm] in der ersten Spalte im rot.
Schritt 3:
[mm] \pmat{2 & -2 & 3\\ \bruch{3}{2} & 1 & -\bruch{7}{2}\\ -2 & 0 & 9}
[/mm]
Schritt 4:
[mm] \pmat{2 & -2 & 3\\ \bruch{3}{2} & 1 & -\bruch{7}{2}\\ -2 & 0 & 9},wo
[/mm]
die Elemente über der Diagonal grün sind und die Elemente unter der Diagonal - rot.
Da unten gibt es noch etwas um die Sachen einbisschen "klarer" zu machen:
[mm] \underbrace{ \pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0} }_{P} [/mm] . [mm] \underbrace{ \pmat{2 & -2 & 3 \\-4 & 4 & 3\\3 & -2 & 1} }_{A} [/mm] = [mm] \underbrace{ \pmat{1 & 0 & 0\\ \bruch{3}{2} & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1} }_{L} [/mm] . [mm] \underbrace{ \pmat{2 & -2 & 3\\ 0 & 1 & -\bruch{7}{2}\\ 0 & 0 & 9} }_{R}
[/mm]
Ich brauche Hilfe. :(
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo rbaleksandar,
> Tja, ich hab's noch nicht geschafft :( Da habe ich
> erfahren, dass L mit irgendwelcher Multiplikator zu tun
> hat...Nun aber was bedeutet das und wo findet man diesen
> Multiplikator? Ich glaube den nennt man Pivotelement oder
> etwas ähnliches...Und benutzt man dieses Pivotelement nur
> bei Zeilenumtauschung was bei mir hier nicht der Fall ist?
Siehe hier: Pivotelement
> Der Beispiel in Wiki
> http://de.wikipedia.org/wiki/LR-Zerlegung ist ein Zufall,
> dass man für die Matrix [mm]\pmat{1 & 2 & 3\\1 & 1 & 1\\3 & 3 & 1}[/mm]
> als L diese [mm]\pmat{1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\3 & 3 & 1}[/mm] als
> Ergebniss bekommt.
>
> Im Skript steht, dass die LR-Zerlegung berechnet man, indem
> wir die enstehende Nullen in der Restmatrix (glaube hier
> wird die Matrix, die man nach der Anwenudng der Gauss Alg.
> bekommt) durch ein Multiplikationsfaktor [mm]L_{jk}[/mm] =
> [mm]\bruch{A^{(k)}_{kj}}{A^{(k)}_{kk}}[/mm] ersetzen.
> Das verstehe ich überhaupt nicht. Der Bespiel, der gegeben
> ist, verwirrt mich mehr. Hier ist er:
Bei der Umsetung des LR-Algorithmus in ein Programm, ist man daran interessiert, so wenig wie möglich Speicherplatz zu verbrauchen. Daher die Ersetzung mit diesem Multiplikationsfaktor.
> Bem:Im rot werden die durch diese Formel für den
> Multiplikationsfaktor ersetzte Nullen, also die Elemente,
> die man im L steckt.
> Im rot stehen die Elemente, die man im R steckt.
>
>
> Schritt 1:
> [mm]\pmat{2 & -2 & 3 \\-4 & 4 & 3\\3 & -2 & 1}[/mm]
> Schritt 2:
> [mm]\pmat{2 & -2 & 3\\-2 & 0 & 9\\ \bruch{3}{2} & 1 & -\bruch{7}{2}}[/mm]
>
> Bem: Hier ist die erste Zeile im grün und die -2 und
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] in der ersten Spalte im rot.
> Schritt 3:
> [mm]\pmat{2 & -2 & 3\\ \bruch{3}{2} & 1 & -\bruch{7}{2}\\ -2 & 0 & 9}[/mm]
>
> Schritt 4:
> [mm]\pmat{2 & -2 & 3\\ \bruch{3}{2} & 1 & -\bruch{7}{2}\\ -2 & 0 & 9},wo[/mm]
>
> die Elemente über der Diagonal grün sind und die Elemente
> unter der Diagonal - rot.
> Da unten gibt es noch etwas um die Sachen einbisschen
> "klarer" zu machen:
> [mm]\underbrace{ \pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0} }_{P}[/mm]
> . [mm]\underbrace{ \pmat{2 & -2 & 3 \\-4 & 4 & 3\\3 & -2 & 1} }_{A}[/mm]
> = [mm]\underbrace{ \pmat{1 & 0 & 0\\ \bruch{3}{2} & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1} }_{L}[/mm]
> . [mm]\underbrace{ \pmat{2 & -2 & 3\\ 0 & 1 & -\bruch{7}{2}\\ 0 & 0 & 9} }_{R}[/mm]
>
Die Matrix P vertauscht die Zeilen 2 und 3.
>
> Ich brauche Hilfe. :(
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
MathePower
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Ja, ja, ich hab das verstanden :)
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