LU-Zerlegung für Teilmatrizen < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 03.01.2012 | | Autor: | willy89 |
Hallo,
ich sitze einer LU-Zerlegung und habe ein Problem.
Angenommen, ich habe mir eine Matrix A - LU zerlegt (Permutation P auch bekannt) und ich streiche aus A z.B. die zweite Zeile.
Gibt es dann eine Möglichkeit, dass ich L,U,P an mein neues A' (A ohne Zeile 2) anpasse?
Habe da nichts gefunden und komme da auch nicht drauf...
Vielen Dank und viele Grüße
willy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Do 05.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
> ich sitze einer LU-Zerlegung und habe ein Problem.
>
> Angenommen, ich habe mir eine Matrix A - LU zerlegt
> (Permutation P auch bekannt)
Okay
> und ich streiche aus A z.B.
> die zweite Zeile.
Das verstehe ich nicht ganz. $A$ erfüllt doch die Gleichung
[mm] $P\cdot [/mm] A = [mm] L\cdot [/mm] U$
wobei [mm] $P,A,L,U\in\IR^{n,n}$ [/mm] sind. $A$ muss quadratisch sein! Streichst Du jetzt eine Zeile, so hast Du [mm] $A\in\IR^{n-1,n}$, [/mm] dass Du mit $A'$ bezeichnet hast. $A'$ ist nicht mehr quadratisch und obige Gleichung macht keinen Sinn mehr, wenn ich mich jetzt nicht täusche.
> Gibt es dann eine Möglichkeit, dass ich L,U,P an mein
> neues A' (A ohne Zeile 2) anpasse?
Ich denke nicht und ich habe da leider auch noch nichts gesehen.
> Habe da nichts gefunden und komme da auch nicht drauf...
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> willy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
Nochmal: Wir betrachten mal einen einfacheren Fall:
Angenommen Deine Matrix [mm] $A\in\IR^{n,n}$ [/mm] ist strikt diagonaldominant, dann ist die Permutationsmatrix deiner $LR$-Zerlegung gleich der Identitaet, d.h. [mm] $P=I\in\IR^{n,n}$. [/mm] Da Du $A$ bereits $LR$-zerlegt hast, hast Du
[mm] $A=L\cdot [/mm] R$
mit [mm] $L,R\in\IR^{n,n}$. [/mm] $L$ ist eine linke untere Dreiecksmatrix mit $1$'en auf der Diagonalen und $R$ ist eine rechte obere Dreiecksmatrix mit irgendwelchen Eintraegen auf der Diagonalen. Streichen wir in $A$ nun die $i$-te Zeile und definieren wir uns diese Matrix als [mm] $\tilde{A}\in\IR^{n-1,n}$, [/mm] so erhalten wir aus $L$ und $R$ eine Darstellung von [mm] $\tilde{A}$: [/mm] Wir streichen in $L$ nun ebenfalls die $i$-te Zeile und definieren uns diese Matrix als [mm] $\tilde{L}\in\IR^{n-1,n}$. [/mm] Nun gilt
[mm] $\tilde{A}=\tilde{L}\cdot [/mm] R$, [mm] $\tilde{A},\tilde{L}\in\IR^{n-1,n}$, $R\in\IR^{n,n}$
[/mm]
was mit der Dreiecksstruktur der Matrizen $L$ und $R$ zusammenhaengt.
Ueber den Fall, dass [mm] $P\neq [/mm] I$ ist (d.h. es wurde bei der $LR$-Zerlegung Zeilen-/Spaltenvertauschungen durchgefuehrt) habe ich mir jetzt keine Gedanken gemacht.
Falls Du diesen Ansatz fuer Ausgleichsprobleme verwenden moechtest, rate ich Dir jedoch eher zu dem $QR$-Verfahren.
Gruss Denny
> [mm]P\cdot A = L\cdot U[/mm]
>
> wobei [mm]P,A,L,U\in\IR^{n,n}[/mm] sind. [mm]A[/mm] muss quadratisch sein!
> Streichst Du jetzt eine Zeile, so hast Du [mm]A\in\IR^{n-1,n}[/mm],
> dass Du mit [mm]A'[/mm] bezeichnet hast. [mm]A'[/mm] ist nicht mehr
> quadratisch und obige Gleichung macht keinen Sinn mehr,
> wenn ich mich jetzt nicht täusche.
>
> > Gibt es dann eine Möglichkeit, dass ich L,U,P an mein
> > neues A' (A ohne Zeile 2) anpasse?
>
> Ich denke nicht und ich habe da leider auch noch nichts
> gesehen.
>
> > Habe da nichts gefunden und komme da auch nicht drauf...
> >
> > Vielen Dank und viele Grüße
> > willy
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