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Forum "Functions" - L Beweis ohne Logarithmusdef.
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L Beweis ohne Logarithmusdef.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:55 Do 21/06/2018
Author: Tobikall

Aufgabe
Es sei L : (0,∞) [mm] \to\IR, [/mm] L(x) [mm] =\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt. [/mm] Zeigen Sie ohne den Logarithmus oder die Exponentialfunktion zu verwenden folgende Behauptungen:
(a) L ist stetig und streng monoton wachsend.
(b) L(x·y) = L(x) + L(y) für alle x,y > 0.
Hinweis: Substitution t = sy und Auswertung in x = 1.
(c) L ist surjektiv und die Inverse E : [mm] \IR\to [/mm] (0,∞) erfüllt E(a+b) = E(a)·E(b) für a,b ∈R sowie E' = E.

Bei dieser Frage bin ich leicht ins Schwitzen gekommen!
Da man ja nicht die offizielle Def. vom Logarithmus verwenden kann und man so ja nicht wirklich das Integral von [mm] \frac{1}{t} [/mm] bestimmen kann, weiß ich nicht wie man hier vorgehen soll?!
Auch beim Hinweis mit der Substitution weiß ich nicht so richtig weiter, wäre nett hier ein paar geeignete Ansätze zu bekommen!

        
Bezug
L Beweis ohne Logarithmusdef.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:48 Do 21/06/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

>  Bei dieser Frage bin ich leicht ins Schwitzen gekommen!

na das liegt wohl eher am Wetter… die Frage selbst ist nicht sonderlich schwer.

>  Da man ja nicht die offizielle Def. vom Logarithmus
> verwenden kann und man so ja nicht wirklich das Integral
> von [mm]\frac{1}{t}[/mm] bestimmen kann, weiß ich nicht wie man
> hier vorgehen soll?!

Aha! Also liegt das heftige Transpirieren am mangelnden Vorwissen und nicht an der Aufgabe!
Im Übrigen sprichst du hier von der "offizielle[n] Def. vom Logarithmus", die gibt es nicht. Der in der Aufgabe angeführte Weg ist ein Weg den Logarithmus zu definieren, so wurde er bspw. bei mir damals ganz offiziell eingeführt (und die e-Funktion dann als Umkehrabbildung).

>  Auch beim Hinweis mit der Substitution weiß ich nicht so
> richtig weiter, wäre nett hier ein paar geeignete Ansätze
> zu bekommen!

Auch hier verstehe ich nicht, was du noch für Ansätze haben willst?
Mal ein paar Tipps:

a) Was sagt denn der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung über $L(x)$ ?

b) Fang an mit $L(xy) = [mm] \ldots$, [/mm] verwende den gegebenen Ansatz und zeig mal, wie weit du kommst.

c) Zeige, dass L surjektiv ist. Warum folgt aus der Surjektivität die Existenz der Umkehrfunktion? Welchen Zusammenhang kennst du zwischen der Ableitung einer Funktion und der Ableitung der  Umkehrfunktion?

Gruß,
Gono

Bezug
                
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L Beweis ohne Logarithmusdef.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:58 Do 21/06/2018
Author: Tobikall

Du hast Recht, es ist heute wirklich sehr warm :-)
also.....

a) ok L'(x)=1/x und das ist ja größer null und somit ist L(x) mon. wachsend, die Stetigkeit weiß ich nicht genau zu zeigen mit dem Integral :/

zu b) hier müsste man L(x+y) und L(x)+L(y) doch differenzieren können und dann ist die Ableitung: [mm] \frac{y}{xy} [/mm] und [mm] \frac{1}{x}-0 [/mm]
--> L'(x+y)=L'(x) ---> unterscheiden sich in c und wenn man jetzt x=1 einsetzt kommt c=L(y) raus und man hat´s :)

zu c) die Surjektivität bedeutet ja, dass der gesamte Def.bereich angenommen und ist Vorraussetzung für die Existenz der Umkehrabbildung. Mir ist auch klar dass mit E die Exponentialfkt. gemeint ist. Der Zusammenhang der Ableitungen ist ja, dass:
[mm] L^{-1}(x)'=\frac{1}{L'(L^{-1}(x)))} [/mm]
Aber ich weiß einfach nicht, wie ich E konkret notieren soll, da ich die Def. für die Exponentialfkt. ja nicht nehmen kann?

Bezug
                        
Bezug
L Beweis ohne Logarithmusdef.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:35 Do 21/06/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> a) ok L'(x)=1/x und das ist ja größer null und somit ist
> L(x) mon. wachsend, die Stetigkeit weiß ich nicht genau zu
> zeigen mit dem Integral :/

Nutze doch bitte [mm] $\LaTeX$, [/mm] so will das niemand lesen.
Monoton wachsend hast du schon.
L(x) ist nun also differenzierbar, was weißt du dann sofort über die Stetigkeit?


> zu b) hier müsste man L(x+y) und L(x)+L(y) doch differenzieren können

Aha… wieso nun plötzlich L(x+y)?
Sauberer arbeiten!


> und dann ist die Ableitung:
> [mm]\frac{y}{xy}[/mm] und [mm]\frac{1}{x}-0[/mm]

Wieso nun plötzlich -0? Wenn dann +0. Das macht zwar keinen Unterschied, zeigt aber wieder, dass du unsauber arbeitest.

>  --> L'(x+y)=L'(x) --->

$L'(xy) = L'(x)$

> unterscheiden sich in c

Was unterscheidet sich um c?

> und wenn man jetzt x=1 einsetzt kommt c=L(y) raus und man hat´s :)

Von der Idee her alles korrekt, vom Aufschrieb her: gruselig.

Dein Ansatz ist also ok. Zur Übung zeige dasselbe jetzt nochmal mit dem gegebenen Hinweis!
  

> zu c) die Surjektivität bedeutet ja, dass der gesamte
> Def.bereich angenommen und ist Vorraussetzung für die
> Existenz der Umkehrabbildung.

Nix Definitionsbereich… Bildbereich.
Aber gezeigt, dass L(x) surjektiv ist, hast du noch nicht… Zeige also:
[mm] $\lim_{x\to \infty} [/mm] L(x) = [mm] +\infty, \lim_{x\to 0} [/mm] L(x) = [mm] -\infty$, [/mm] die Surjektivität folgt dann mit der Stetigkeit (wieso?)

>  Mir ist auch klar dass mit E
> die Exponentialfkt. gemeint ist. Der Zusammenhang der
> Ableitungen ist ja, dass:
>  [mm]L^{-1}(x)'=\frac{1}{L'(L^{-1}(x)))}[/mm]
>  Aber ich weiß einfach nicht, wie ich E konkret notieren
> soll, da ich die Def. für die Exponentialfkt. ja nicht
> nehmen kann?

Du kannst E gar nicht konkret notieren!
Und sollst es auch nicht, du sollst nur zeigen:

$E(a+b) = E(a) * E(b)$ und $E'(x) = E(x)$

für $E := [mm] L^{-1}$ [/mm]

Fürs erste verwende, dass L nach bisherigem bijektiv ist und damit folgt $x = y [mm] \gdw [/mm] L(x) = L(y)$

Wende das mal auf $E(a+b) = E(a) * E(b)$  an und nutze die bisherigen gezeigten Rechenregeln für L.

Fürs zweite verwende [mm]L^{-1}(x)'=\frac{1}{L'(L^{-1}(x)))}[/mm] und setz doch einfach mal $E := [mm] L^{-1}$ [/mm] und L' konkret ein!

Gruß,
Gono





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L Beweis ohne Logarithmusdef.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:57 Do 21/06/2018
Author: Tobikall

Man kann die Grenzwerte doch eigentlich aus der strengen Monotonie verbunden mit der Stetigkeit folgern, woraus sich ergibt dass die Funktion zu beiden Seiten ins unendliche läuft !? Oder kann man hier irgendwas mit den Eigenschaften eines uneigentlichen Integrals für x --> unendlich/1 folgern?

zudem:$ E(a+b) = E(a) [mm] \cdot [/mm] E(b) $
$ [mm] \gdw [/mm] L(E(a+b)) = [mm] L(E(a)\cdot [/mm] E(b)) $
[mm] $\gdw [/mm] L(E(a))+L(E(b)) = [mm] L(E(a)\cdot [/mm] E(b))$
und das gilt doch, da$ [mm] L(x\codt [/mm] y) = L(x) + L(y) $ aus b) gilt oder?

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L Beweis ohne Logarithmusdef.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:25 Fr 22/06/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Man kann die Grenzwerte doch eigentlich aus der strengen
> Monotonie verbunden mit der Stetigkeit folgern, woraus sich
> ergibt dass die Funktion zu beiden Seiten ins unendliche läuft !?

Was ist denn mit $f(x) = [mm] \arctan(x)$ [/mm] oder $f(x) = [mm] e^x$? [/mm] Beide Funktionen sind streng monoton wachsend sowie stetig und für beide Funktionen wirst du Probleme haben ein x zu finden mit $f(x) = -5$

> Oder kann man hier irgendwas mit den
> Eigenschaften eines uneigentlichen Integrals für x -->
> unendlich/1 folgern?

Na "irgendwas" wird man da schon folgern müssen. Tipp: Harmonische Reihe.


> zudem:[mm] E(a+b) = E(a) \cdot E(b)[/mm]
>  [mm]\gdw L(E(a+b)) = L(E(a)\cdot E(b))[/mm]
>  
> [mm]\gdw L(E(a))+L(E(b)) = L(E(a)\cdot E(b))[/mm]

[notok]

L ist doch nicht linear!
Es stimmt also nicht, dass $L(E(a+b)) = L(E(a))+L(E(b))$!

Und die Eigenschaft, dass L die Umkehrfunktion von E ist, hast du auch noch nicht verwendet.

Gehe weiter von  [mm]\gdw L(E(a+b)) = L(E(a)\cdot E(b))[/mm] und verwende links die Umkehreigenschaft und rechts erst die von dir angesprochene Eigenschaft

> und das gilt doch, da$ [mm] L(x\codt [/mm] y) = L(x) + L(y) $ aus b) gilt oder?

und dann die Umkehreigenschaft.

Gruß,
Gono



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L Beweis ohne Logarithmusdef.: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:38 Do 21/06/2018
Author: Tobikall

Ok, aus Differenzierbarkeit folgt unmittelbar die Stetigkeit, da hätte ich auch selbst drauf kommen können...
Ich schreibe eher selten Matheformeln am Computer und tue mich deshalb dabei auch eher schwer, daher die kleinen Fehler und meine unschöne Aufschrift, handschriftlich habe ich den Beweis deutlich ordentlicher geführt! :-)

zu c) Ok, Grenzwerte sind klar und hab ich verstanden, und wenn eine Funktion stetig ist und somit in ihrem Verlauf keine Sprungstelle hat, also ununterbrochen von unendlich bis minus unendlich geht ist sie surjektiv. Verstanden!
zu $ E'(x) = E(x) $: $ [mm] L^{-1}(x)'=E'(x)=\frac{1}{L'(L^{-1}(x)))} $=\frac{1}{\frac{1}{E(x)}}=E(x) [/mm]
zu: $ E(a+b) = E(a) [mm] \cdot{} [/mm] E(b) $: $ E(a+b) [mm] =L^{-1}(a+b)=... [/mm] =E(a) [mm] \cdot{} [/mm] E(b) $ --> das ist die einzige Stelle wo ich jetzt noch hänge


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L Beweis ohne Logarithmusdef.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:22 Do 21/06/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> zu c) Ok, Grenzwerte sind klar und hab ich verstanden,

Hast du?
Na dann zeig doch mal, dass [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] L(x) = [mm] +\infty$ [/mm] gilt.
Das sollst du zeigen!

> wenn eine Funktion stetig ist und somit in ihrem Verlauf
> keine Sprungstelle hat, also ununterbrochen von unendlich
> bis minus unendlich geht ist sie surjektiv. Verstanden!

Das wäre dann so, ja

>  zu [mm]E'(x) = E(x) [/mm]:
> [mm]L^{-1}(x)'=E'(x)=\frac{1}{L'(L^{-1}(x)))}[/mm][mm] =\frac{1}{\frac{1}{E(x)}}=E(x)[/mm]

[ok]  

> zu: [mm]E(a+b) = E(a) \cdot{} E(b) [/mm]: [mm]E(a+b) =L^{-1}(a+b)=... =E(a) \cdot{} E(b)[/mm]
> --> das ist die einzige Stelle wo ich jetzt noch hänge
>  

Ich sagte doch: Gehe von $E(a+b) = E(a) [mm] \cdot [/mm] E(b)$ aus und wende dann auf beiden Seiten mal $L$ an!

Also:
$E(a+b) = E(a) [mm] \cdot [/mm] E(b)$
[mm] $\gdw [/mm] L(E(a+b)) = [mm] L(E(a)\cdot [/mm] E(b))$

Jetzt du weiter!

Gruß,
Gono


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