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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 18.02.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(1+\sin(x))^{\bruch{1}{\sin(x)}}
[/mm]
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von L'Hôspital den Grenzwert. |
Ich habe hier als Lösung "e" stehen, aber ich versteh nicht wieso..ich krieg irgendwie 1 raus.
Erstmal hab ich den ganzen Term mal *log genommen, damit der Bruch oben nach unten wandert. Das sieht dann so aus:
[mm] \bruch{\log(1+\sin(x))}{\sin(x)}
[/mm]
Sowohl der Zähler, als auch der Nenner gehen beide gegen 0, sodass wir L'Hôspital anwenden können.
[mm] f(x)=\log(1+\sin(x))
[/mm]
[mm] g(x)=\sin(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{\cos (x)}{1+\sin(x)}
[/mm]
[mm] g'(x)=\cos(x)
[/mm]
Wenn ich jetzt wieder Zähler und Nenner gegen 0 laufen lasse, erhalte ich sowohl im Nenner, als auch im Zähler 1...also wäre laut meiner Rechnung der Grenzwert 1.
Wo liegt der Fehler? Und wie komm ich an das e?
Ich hab den Verdacht, dass bereits ganz am Anfang bei der Umformierung der Haken ist, allerdings find ich keine passende Formel mit e und log...oder kann ich [mm] e^{logy} [/mm] = y dafür irgendwie gebrauchen?
Danke!
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Hallo diecky!
Deine erste Umformung sollte hier sein wie folgt. Denn einafch so logarithmieren darfst Du den Term ja nicht, da Du sonst den Wert veränderst.
[mm] $$(1+\sin(x))^{\bruch{1}{\sin(x)}} [/mm] \ = \ [mm] \left[e^{\log(1+\sin(x))}\right]^{\bruch{1}{\sin(x)}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{\log(1+\sin(x))}{\sin(x)}}$$
[/mm]
Und wenn du nun den Grenzwert im Exponenten betrachtest, erhältst Du den Wert $1_$ und als Gesamtgrenzwert dann [mm] $e^{\red{1}} [/mm] \ = \ e$ .
Gruß vom
Roadrunner
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