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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 17.03.2008 | | Autor: | kutzi |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{exp (x)-1}) [/mm] |
Wie oft muss ich bei dieser Aufgabe L'Hopuital anwenden, um auf das richtige Ergebnis zu kommen?
Ableitungen von 1/x = -1/x-2
Ableitung von 1/exp(x)-1 ) 1/exp(x)
Also [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} (\bruch{-1}{x^{-2}}-\bruch{1}{exp (x)})
[/mm]
bin ich jetzt schon fertig? IST X->0 wird irgendwie nicht angezeigt
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Um L'Hospital anwenden zu können, musst du eigentlich erst eine Form
"0/0" oder [mm] "\infty [/mm] / [mm] \infty" [/mm] herstellen. Bei dir geschieht dies durch Hauptnenner bilden:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{1}{x} - \bruch{1}{\exp(x)-1}\right) = \limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{\exp(x)-1-x}{x*(\exp(x)-1)}\right)[/mm]
Jetzt haben wir die nötige Form, würde ich x = 0 einsetzen würde ich "0/0" erhalten. Nun können wie L'Hospital anwenden und den Zähler und Nenner einzeln ableiten:
Zähler: [mm]\left(\exp(x)-1-x\right)' = \exp(x) - 1[/mm]
Nenner: [mm]\left(x*(\exp(x)-1)\right)' = x*\exp(x) + \exp(x) - 1[/mm]
Es ergibt sich also mit Hilfe von L'Hospital:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{\exp(x)-1-x}{x*(\exp(x)-1)}\right) = \limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{\exp(x)-1}{x*\exp(x) + \exp(x) - 1}\right)[/mm]
Wenn wir nun nochmals x = 0 einsetzen würden, würden wir wieder einen Bruch der Form "0/0" erhalten; wir müssen nochmals L'Hospital anwenden.
Also erneut Zähler und Nenner ableiten (Ein Ziel ist übrigens in Sicht, da sich ja der Zähler immer mehr von dem polynomialen Zusatz befreit  ):
Zähler: [mm]\left(\exp(x)-1\right)' = \exp(x)[/mm]
Nenner: [mm]\left(x*\exp(x) + \exp(x) - 1\right)' = 2*exp(x)+x*exp(x)[/mm]
Es ergibt sich also mit L'Hospital:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{\exp(x)-1}{x*\exp(x) + \exp(x) - 1}\right) = \limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{\exp(x)}{2*exp(x)+x*exp(x)}\right)[/mm]
Und das kann man jetzt auswerten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Mo 17.03.2008 | | Autor: | kutzi |
Vielen Dank, auch zu später Stunde =)
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