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L'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Mo 17.02.2020
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich habe folgende Frage:
Bei der Berechnung von [mm] lim_{x\to \bruch{\pi}{2}} \bruch{sin(x)*cos(x)}{sin(3x)*cos(3x)} [/mm] kann man die Regel von l'Hospital anwenden.

Aufgrund der anzuwendenden Produktregel im Zähler und im Nenner ist dies jedoch etwas kompliziert.
Im Zähler und im Nenner tauchen allerdings die Sinusterme auf, die bzgl. des Grenzwertes "unkritisch" sind, da diese 1 bzw. -1 ergeben, aber nicht 0 oder unendlich.
Speziell bei dieser Aufgabe könnte man daher so vorgehen, dass man die Sinusterme vor den limes als Faktor zieht als [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] und den L'hospital dann nur mit den beiden Kosinusfunktionen durchrechnet, was natürlich deutlich einfacher ist.

Meine Frage ist nun, ob man bei L'Hospital grundsätzlich solche "unkritischen" Terme (die also nicht 0 oder unendlich ergeben) als Faktor vor den Limes ziehen kann.
Falls dem nicht so ist, wäre ich für ein Gegenbeispiel dankbar.

Im voraus herzlichen Dank für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi

Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.


        
Bezug
L'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Mo 17.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du solltest dir mal die Frage stellen, warum man das überhaupt so, wie von dir beschrieben,  machen kann. Dann beantwortet sich deine Frage eigentlich von allein. Tipp: []Grenzwertsätze

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
L'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Mo 17.02.2020
Autor: HJKweseleit

[mm]lim_{x\to \bruch{\pi}{2}} \bruch{sin(x)*cos(x)}{sin(3x)*cos(3x)}[/mm] = [mm]lim_{x\to \bruch{\pi}{2}} \bruch{sin(x)}{sin(3x)}* \bruch{cos(x)}{cos(3x)}[/mm] = [mm]lim_{x\to \bruch{\pi}{2}} \bruch{sin(x)}{sin(3x)}*lim_{x\to \bruch{\pi}{2}} \bruch{cos(x)}{cos(3x)}[/mm], falls beide Grenzwerte existieren, was hier der Fall ist.


Falls nicht beide Grenzwerte existieren, kann es zu verschiedenen Aussagen kommen:

[mm] lim_{x\to \infty} \bruch{1}{x}*sin(x) [/mm] =0, obwohl der lim von sin(x) nicht existiert.

[mm] lim_{x\to \infty} (4+\bruch{1}{x})*sin(x) [/mm] existiert nicht, obwohl wie zuvor der erste lim existiert und der von sin(x) nicht.

[mm]lim_{x\to \infty} (1+sin(x))*\bruch{1}{1+sin(x)}[/mm] = 1, obwohl beide limites nicht existieren.

[mm]lim_{x\to \infty} sin(x)*sin(x)[/mm] existiert nicht. Hier existieren beide limites nicht.



Bezug
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