L'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Di 19.05.2009 | | Autor: | Marizz |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo :)
Könnte mir jemand erklären, wie die Regel von Hospital genau funktioniert?
Vielleicht Schritt für Schritt, anhand eines Beispiels aus der Aufgabenstellung.
Was genau muss man als gegeben ansehn, und was darf man selbst rechnen? Gegen was darf x streben?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Marizz,
> [img]
> Hallo :)
> Könnte mir jemand erklären, wie die Regel von Hospital genau funktioniert?
> Vielleicht Schritt für Schritt, anhand eines Beispiels aus der Aufgabenstellung.
> Was genau muss man als gegeben ansehn, und was darf man selbst rechnen? Gegen was darf x streben?
x darf streben, wogengen es will, gegen ein [mm] $x_0$ [/mm] oder gegen [mm] $\pm\infty$
[/mm]
Du brauchst, um de l'Hôpital anwenden zu können, einen Quotienten [mm] $\frac{u(x)}{v(x)}$, [/mm] der für [mm] $x\to x_0$ [/mm] (bzw. [mm] $x\to\pm\infty$) [/mm] gegen einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] strebt.
Dann kannst du de l'Hôpital anwenden, Zähler und Nenner getrennt ableiten und dann erneut den Grenzübergang [mm] $x\to x_0$ [/mm] oder ... machen
Nehmen wir dein erstes Bsp. [mm] $f(x)=\frac{\ln^2(x)}{\sqrt{x}}$
[/mm]
Das strebt bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Also leiten wir Zähler und Nenner getrennt ab, das gibt:
[mm] $\frac{2\ln(x)\cdot{}\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=...=\frac{4\ln(x)}{\sqrt{x}}$
[/mm]
Das strebt nun für [mm] $x\to\infty$ [/mm] schon wieder gegen einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Also erneut ran mit de l'Hôpital und getrennt ableiten:
[mm] $\frac{\frac{4}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=\frac{8}{\sqrt{x}}$
[/mm]
Was passiert nun für [mm] $x\to\infty$ [/mm] ?
Deine Ausgangsfunktion hat dann dasselbe Grenzverhalten ...
Bedenke, dass du immer einen Quotienten benötigst für de l'Hôpital, also forme bei Bedarf die Funktion zuerst geeignet um.
Bei der letzten Aufgabe bedenke auch, dass [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] ist und dass die e-Funktion stetig ist ...
Dann leg' mal los ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Di 19.05.2009 | | Autor: | Marizz |
Danke 1000 mal!! Jetzt versteh ich auch den Sinn der ganzen Geschichte!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Di 19.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Klingt als besuchst du die gleiche Veranstaltung wie cooly, zumal ich bei den identischen Aufgaben schonmal vor 2 Tagen mitgeholfen habe, also wenn du nich mehr weiter weißt, schau ruhig mal in den Artikel.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Marizz |
Danke für den Tipp! Wusste gar nicht dass die Seite in meiner Veranstaltung bekannt ist... werde in Zukunft genauer schauen :)
also Aufgabe a)-c) hab ich dank schachuzipus lösen können, aber die d) ist mir nicht ganz klar, obwohl ich bei cooly geschaut hab.
also:
[mm] x^{\wurzel{x}} [/mm] ist ein [mm] 0^{0} [/mm] Ausdruck, solche Ausdrücke können mittels Umformung mit e, auf eine Form [mm] "0*\pm\infty" [/mm] gebracht werden
aber bei [mm] \limes_{x\rightarrow0} e^{\wurzel{x}*lnx} [/mm] sind doch die Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow0}\wurzel{x}= [/mm] 0, [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] lnx = undef???
Oder verwechsel ich jetz was?
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Hallo nochmal,
> Danke für den Tipp! Wusste gar nicht dass die Seite in
> meiner Veranstaltung bekannt ist... werde in Zukunft
> genauer schauen :)
>
> also Aufgabe a)-c) hab ich dank schachuzipus lösen können,
Das freut mich zu hören 
> aber die d) ist mir nicht ganz klar, obwohl ich bei cooly
> geschaut hab.
>
> also:
>
> [mm]x^{\wurzel{x}}[/mm] ist ein [mm]0^{0}[/mm] Ausdruck, solche Ausdrücke
> können mittels Umformung mit e, auf eine Form [mm]"0*\pm\infty"[/mm]
> gebracht werden
>
> aber bei [mm]\limes_{x\rightarrow0} e^{\wurzel{x}*lnx}[/mm] sind
> doch die Grenzwerte [mm]\limes_{x\rightarrow0}\wurzel{x}=[/mm] 0,
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] lnx = undef???
>
> Oder verwechsel ich jetzt was?
Ich hatte dir den Tipp mit der Stetigkeit der e-Funktion gegeben, dh. [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$
[/mm]
Hier ist [mm] $x^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}\cdot{}\ln(x)}$
[/mm]
Das ist nur für $x>0$ definiert, gesucht ist hier also der rechtsseitige Limes [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ von [mm] $x^{\sqrt{x}}$
[/mm]
Dazu kannst du dir in der umgeschriebenen Variante mit der e-Funktion den Exponenten herausgreifen und dessen Grenzverhalten für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ untersuchen, etwa mit de l'Hôpital.
Dazu brauchst du einen Quotienten, schreibe also [mm] $\sqrt{x}\cdot{}\ln(x)$ [/mm] um in [mm] $\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$
[/mm]
Das strebt für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $-\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Also ran mit de l'Hôpital.
Am Ende aber die e-Funktion wieder "einbauen" (siehe Bem. zur Stetigkeit oben)
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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