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L´Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Mi 13.07.2011
Autor: durden88

Aufgabe
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} x^x [/mm]

Schönen guten Abend liebe Mathefans,

also diese Aufgabe steht unter dem Bereich L´Hobital aufgaben, hat aber nen Trick dabei. Und zwar wird folgender Schritt angewand:     [mm] exp(\limes_{n\rightarrow\ 0} [/mm] x ln(x)) Soo und jetzt weiß ich nicht, in welcher Grundform dieser Trick ist, da es ja [mm] x^x [/mm] ist. Wo steht denn der Expoent vom X, wo steht das x selber und was sind vergleichbare Aufgaben? Und wieso mach ich das überhaupt, ich darfs ja nur machen, wenn die Funktion stetig ist nicht?

Ok vielen Dank!!



        
Bezug
L´Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mi 13.07.2011
Autor: fred97

Es ist [mm] $x^x= e^{x*ln(x)}$ [/mm]

Da die e-Funktion stetig ist, hat man:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x^x= e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)}$ [/mm]

Weiter ist

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(x)}{1/x}$ [/mm]

Jetzt L'Hospital.

FRED


Bezug
                
Bezug
L´Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mi 13.07.2011
Autor: durden88


> Es ist [mm]x^x= e^{x*ln(x)}[/mm]

>
Der Faktor vor dem ln, ist das der Exponent oder die Basis von [mm] x^x? [/mm]

> Da die e-Funktion stetig ist, hat man:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x^x= e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)}[/mm]
>  
> Weiter ist
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(x)}{1/x}[/mm]
>  

Danke das hab ich kappiert.

> Jetzt L'Hospital.
>  
> FRED
>  

Was sind denn vergleichbare Aufgaben, wo es nen bischen deutlicher wird? Und wieso mach ich das? [mm] x^x [/mm] gegen 0 macht ja der Taschenrechner ERROR, so und wenn ich Ableite kommt ja immer wieder [mm] 1*x^x [/mm] deswegen dieser Trick


Bezug
                        
Bezug
L´Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Mi 13.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo durden88,




> > Es ist [mm]x^x= e^{x*ln(x)}[/mm]
>  >
>  Der Faktor vor dem ln, ist das der Exponent oder die Basis
> von [mm]x^x?[/mm]

Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm]

Also ist der Faktor vor dem [mm]\ln(x)[/mm] was?

>  > Da die e-Funktion stetig ist, hat man:

>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x^x= e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)}[/mm]
>  
> >  

> > Weiter ist
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(x)}{1/x}[/mm]
>  
> >  

> Danke das hab ich kappiert.

Besser, du hättest es kapiert.

>  > Jetzt L'Hospital.

>  >  
> > FRED
>  >  
>
> Was sind denn vergleichbare Aufgaben, wo es nen bischen

Was bedeutet dieses Wort, wenn es denn eines ist? Ich kenne es nicht ...

> deutlicher wird? Und wieso mach ich das? [mm]x^x[/mm] gegen 0 macht
> ja der Taschenrechner ERROR,

Vermutlich, weil für [mm]x^x[/mm] lediglich der rechtsseitige Limes für [mm]x\downarrow 0[/mm] definiert ist, also [mm]\lim\limits_{x\downarrow 0}x^x=..[/mm]

> so und wenn ich Ableite kommt
> ja immer wieder [mm]1*x^x[/mm] deswegen dieser Trick

Wenn du was ableitest? [mm]x^x[/mm]?

Nein, da kommt doch [mm]\left[x^x\right]'=(1+\ln(x))\cdot{}x^x[/mm] heraus ... (Kettenregel)

Gruß

schachuzipus


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