L endl. Grad über K->L algebr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Satz: Hat L endlichen Grad über K, so ist L algebraisch über K.
Beweis:
Seien [L:K] = n und l [mm] \in [/mm] L. Die n+1 Elemente 1, [mm] l^2, l^3, [/mm] ..., [mm] l^n [/mm] sind daher linear abhängig. Es gibt also [mm] k_0, k_1, [/mm] ... , [mm] k_n \in [/mm] K mit [mm] k_0 [/mm] + [mm] k_1 [/mm] l + [mm] k_2 l^2 [/mm] + [mm] k_n l^n [/mm] = 0. Für [mm] k_0 [/mm] + [mm] k_1 [/mm] x + [mm] k_2 x^2 [/mm] + [mm] k_n x^n [/mm] = 0 gilt daher f^-(l) = 0. l ist daher algebraisch |
Hallo!
Ich versuche gerade den obigen Beweis zu verstehen, aber ich komm einfach nicht drauf.
Also ich habe einen Erweiterungskörper L und einen Unterkörper K. Das ganze kann als Vektorraum aufgefasst werden [mm] K^L [/mm] bzw dim [mm] K^L [/mm] ist der Grad der Körpererweiterung.
Nun das ist mal klar. Dass die Dimension n ist ist auch klar, also hab ich n Basisvektoren...
jetzt kommt das Problem. Warum nehme ich n+1 Elemente 1, [mm] l^2, l^3 [/mm] etc?
Mir ist schon klar, dass wenn man eine Basis erweitert, lineare abhängigkeit auftaucht, aber mir fehlt hier irgendwie der Link...
Ich hoffe ich verstehe das auch richtig:
zb L = [mm] \IQ [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] und K [mm] \IQ
[/mm]
dann ist ja L eine Erweiterung von K.
Wenn zum Beispiel das Polynom [mm] x^2 [/mm] - 2 über [mm] \IQ [/mm] gegeben ist. dann kann ich das ganze nicht mit den rationalen Zahlen lösen. Dementsprechend muss ich ein Element adjungieren. Hier wäre es also nötig den Körper zu erweitern. [mm] \wurzel{2} [/mm] wäre genau eine nullstelle des obigen polynoms, deswegen ist L auch eine algebraische erweiterung von K.
Die basis sieht so aus: {1, [mm] \wurzel{2}} [/mm] also ist die dimension 2.
Wenn ich das nun auf den Beweis umlegen soll, tu ich mir schon etwas schwer...
Bitte um Hilfe.
lg
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Fr 10.12.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Satz: Hat L endlichen Grad über K, so ist L algebraisch
> über K.
> Beweis:
> Seien [L:K] = n und l [mm]\in[/mm] L. Die n+1 Elemente 1, [mm]l^2, l^3,[/mm]
> ..., [mm]l^n[/mm] sind daher linear abhängig. Es gibt also [mm]k_0, k_1,[/mm]
> ... , [mm]k_n \in[/mm] K mit [mm]k_0[/mm] + [mm]k_1[/mm] l + [mm]k_2 l^2[/mm] + [mm]k_n l^n[/mm] = 0.
> Für [mm]k_0[/mm] + [mm]k_1[/mm] x + [mm]k_2 x^2[/mm] + [mm]k_n x^n[/mm] = 0 gilt daher f^-(l)
> = 0. l ist daher algebraisch
> Ich versuche gerade den obigen Beweis zu verstehen, aber
> ich komm einfach nicht drauf.
>
> Also ich habe einen Erweiterungskörper L und einen
> Unterkörper K. Das ganze kann als Vektorraum aufgefasst
> werden [mm]K^L[/mm] bzw dim [mm]K^L[/mm] ist der Grad der
> Körpererweiterung.
> Nun das ist mal klar. Dass die Dimension n ist ist auch
> klar, also hab ich n Basisvektoren...
Wenn ich n Basisvektoren habe, sind n+1 beliebige Vektoren linear abhängig. Die n+1 Potenzen [mm] l^0, l^1, [/mm] ... , [mm] l^n [/mm] von $l$ sind also lin. abh, und die lineare Abhängigkeit ergibt gerade, daß $l$ eine Nullstelle des Polynoms mit den Koeffizienten aus der linearen Abhängigkeit ist.
> jetzt kommt das Problem. Warum nehme ich n+1 Elemente 1,
> [mm]l^2, l^3[/mm] etc?
Weil es zielführend ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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