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LaPlace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 So 10.09.2017
Autor: Ice-Man

Aufgabe
Ermitteln sie die Lösung mit Hilfe von LaPlace.

y''+6y'+10y=0

y(0)=0
y'(0)=4

Hallo,

ich habe bitte eine Frage zur LaPlace Tranformation.

Mein Vorgehen ist,

[mm] s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+6sY(s)-6y(0)+10Y(s)=0 [/mm]

[mm] Y(s)=\bruch{4}{s^{2}+16} [/mm]


Doch wenn ich das jetzt zurücktransformiere dann erhalte ich leider nicht die Lösung

[mm] y=4e^{-3t}sin(t) [/mm]

Kann mir evtl. bitte jemand sagen wo mein Fehler ist?

Vielen Dank schon einmal

        
Bezug
LaPlace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 So 10.09.2017
Autor: derbierbaron

Hey,

$ [mm] s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+6sY(s)-6y(0)+10Y(s)=0 [/mm] $

Das ist richtig, aber wenn du das umformst nach $Y(s)$ erhältst du:

[mm] $Y(s)(s^{2}+6s+10)-4=0$ [/mm] und damit ein anderes $Y(s)$



Gruss
DBb

Bezug
                
Bezug
LaPlace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 So 10.09.2017
Autor: Ice-Man

Stimmt, da habe ich was übersehen.
Das war mein Fehler.
Also zuerst einmal vielen Dank.

Die Nullstellen sind [mm] s_{1}=-3-j [/mm] und [mm] s_{2}=-3+j [/mm]

Und jetzt hätte ich mit einem Koeffizientenvergleich weiter gemacht.

4=A(-3-j)+B(-3+j)

Wäre das ok?

Bezug
                        
Bezug
LaPlace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Mo 11.09.2017
Autor: fred97


> Stimmt, da habe ich was übersehen.
>  Das war mein Fehler.
> Also zuerst einmal vielen Dank.
>  
> Die Nullstellen sind [mm]s_{1}=-3-j[/mm] und [mm]s_{2}=-3+j[/mm]
>  
> Und jetzt hätte ich mit einem Koeffizientenvergleich
> weiter gemacht.
>
> 4=A(-3-j)+B(-3+j)

Nein. Du hast

[mm] \frac{4}{(s-s_1)(s-s_2)}=\frac{A}{s-s_1}+\frac{B}{s-s_2}. [/mm]

Das liefert

[mm] $4=A(s-s_2)+B(s-s_1). [/mm]

Jetzt Du !

>  
> Wäre das ok?


Bezug
                                
Bezug
LaPlace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:38 Mo 11.09.2017
Autor: Ice-Man

Warum jetzt [mm] s_{1} [/mm] und [mm] s_{2}? [/mm]
Weil es sich um imaginäre Nullstellen handelt?

Ich hätte jetzt bei dem Koeffizientenvergleich geschrieben,

-A-B=4

Aber ich bin mir sicher das dass absoluter Unsinn ist.

Bezug
                                        
Bezug
LaPlace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Mo 11.09.2017
Autor: fred97


> Warum jetzt [mm]s_{1}[/mm] und [mm]s_{2}?[/mm]

Das war doch Deine Bezeichnung: [mm] s_1=-3-j, s_2=-3+j [/mm]


>  Weil es sich um imaginäre Nullstellen handelt?
>  
> Ich hätte jetzt bei dem Koeffizientenvergleich
> geschrieben,
>  
> -A-B=4
>  
> Aber ich bin mir sicher das dass absoluter Unsinn ist.

Aus



[mm] $4=A(s-s_2)+B(s-s_1) [/mm] $

bekommen wir

[mm] $4=(A+B)s-(As_2+Bs_1)$ [/mm]

Koeffizientenvergleich:

0=A+B und [mm] 4=-As_2-Bs_1. [/mm]



Bezug
                                                
Bezug
LaPlace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mo 11.09.2017
Autor: Ice-Man

Ich danke dir, aber das hilft mir jetzt leider irgendwie nicht weiter.

Denn..

0=A+B

A=-B

[mm] 4=-As_{2}-Bs_{1} [/mm]

[mm] 4=-As_{2}+As_{1} [/mm]

[mm] 4=A(-s_{2}+s_{1}) [/mm]

[mm] A=\bruch{4}{-s_{2}+s_{1}} [/mm]

[mm] B=-\bruch{4}{-s_{2}+s_{1}} [/mm]

Und jetzt bin ich raus...


Bezug
                                                        
Bezug
LaPlace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Mo 11.09.2017
Autor: fred97


> Ich danke dir, aber das hilft mir jetzt leider irgendwie
> nicht weiter.
>  
> Denn..
>  
> 0=A+B
>  
> A=-B
>  
> [mm]4=-As_{2}-Bs_{1}[/mm]
>  
> [mm]4=-As_{2}+As_{1}[/mm]
>  
> [mm]4=A(-s_{2}+s_{1})[/mm]
>  
> [mm]A=\bruch{4}{-s_{2}+s_{1}}[/mm]
>  
> [mm]B=-\bruch{4}{-s_{2}+s_{1}}[/mm]
>  
> Und jetzt bin ich raus...


echt ¿ warum setzt du denn in Gottes Namen die werte von [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] nicht ein ?..?

>  


Bezug
                                                                
Bezug
LaPlace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mo 11.09.2017
Autor: Ice-Man

Also bedeutet das?

[mm] Y(s)=\bruch{4}{3-j-3-j} [/mm]

Aber das ist doch jetzt totaler Unsinn.

Bezug
                                                                        
Bezug
LaPlace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:29 Di 12.09.2017
Autor: fred97


> Also bedeutet das?
>  
> [mm]Y(s)=\bruch{4}{3-j-3-j}[/mm]
>  
> Aber das ist doch jetzt totaler Unsinn.

Das ist doch nicht Y (s), sondern  der Koeffizient A




Bezug
                                                                                
Bezug
LaPlace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:36 Di 12.09.2017
Autor: Ice-Man

Also meinst du,

[mm] A=\bruch{-2}{j} [/mm]

und

[mm] B=\bruch{2}{j} [/mm]
?

Bezug
                                                                                        
Bezug
LaPlace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Di 12.09.2017
Autor: fred97


> Also meinst du,
>  
> [mm]A=\bruch{-2}{j}[/mm]
>  
> und
>
> [mm]B=\bruch{2}{j}[/mm]
>  ?


Ja, man kann noch vereinfachen:  [mm]A=\bruch{-2}{j}=\bruch{-2j}{j^2}=2j[/mm], denn [mm] j^2=-1. [/mm]

Dann: $B=-2j$



Bezug
                                                                                                
Bezug
LaPlace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:27 Di 12.09.2017
Autor: Ice-Man

Und auch wenn ich jetzt wirklich Unsinn schreibe,

aber das würde ich jetzt so einsetzen...

[mm] =\bruch{A}{s-s_{1}}+\bruch{B}{s-s_{2}} [/mm]

[mm] =\bruch{2j}{s-s_{1}}+\bruch{-2j}{s-s_{2}} [/mm]

[mm] =\bruch{2j}{s-3-j}+\bruch{-2j}{s-3+j} [/mm]

Oder verwechsel ich jetzt total was`?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
LaPlace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Di 12.09.2017
Autor: fred97


> Und auch wenn ich jetzt wirklich Unsinn schreibe,
>  
> aber das würde ich jetzt so einsetzen...
>  
> [mm]=\bruch{A}{s-s_{1}}+\bruch{B}{s-s_{2}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2j}{s-s_{1}}+\bruch{-2j}{s-s_{2}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2j}{s-3-j}+\bruch{-2j}{s-3+j}[/mm]
>  
> Oder verwechsel ich jetzt total was'?

Bis auf Klammersetzung ist das O.K.:

Wir haben dann



$ [mm] \frac{4}{(s-(-3-j))(s-(-3+j))}=\frac{2j}{s-(-3-j)}+\frac{-2j}{s-(-3+j)}. [/mm] $


Bezug
                                                                                                                
Bezug
LaPlace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Di 12.09.2017
Autor: Ice-Man

Und das kann ich jetzt ja in die Bildfunktion zurück transformieren, richtig?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
LaPlace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:16 Di 12.09.2017
Autor: fred97


> Und das kann ich jetzt ja in die Bildfunktion zurück
> transformieren, richtig?

Ja.




Bezug
                                                                                                                                
Bezug
LaPlace: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:24 Di 12.09.2017
Autor: Ice-Man

Mein Verständnisproblem liegt nur darin das ich als Originalfunktion ja folgendes erhalte..

[mm] \bruch{1}{a}e^{bt}sin(at) [/mm]

Das ist ja als Bildfunktion

[mm] \bruch{1}{(p-b)^{2}+a^{2}} [/mm]

oder vertausche ich jetzt was?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
LaPlace: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Do 14.09.2017
Autor: matux

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