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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Länge der Kurve welche für t [mm] \in [/mm] [0,3] gegeben ist durch t--> [mm] \vektor{\bruch{1}{2}(t^2) \\ \bruch{1}{3}(t^\bruch{3}{2})) \\ 1} [/mm] |
Hab das so gemacht,
zuerst x,y,z, bestimmt über die ableitungen:
x=t y= [mm] \bruch{1}{2}t^\bruch{1}{2} [/mm] z=0
L= [mm] \integral_{0}^{3}{\wurzel{t^2+\bruch{1}{2}t^\bruch{1}{2}^2} dt} [/mm] =
L= [mm] \integral_{0}^{3}{\wurzel{t^2+\bruch{1}{4}t} dt} [/mm] =
dann bin ich hergegangen und hab mir gedacht ich könnte den Term [mm] t^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}t [/mm] auch folgend anschreiben
[mm] t^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}t =(t+\bruch{1}{8})^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{64}
[/mm]
und dann Substituieren für u = [mm] t+\bruch{1}{8} [/mm]
dann hätt ich folgendes dastehen:
L= [mm] \integral_{0}^{3}{\wurzel{u^2-\bruch{1}{64}t} dt} [/mm] =
Und dann einfach sagen mein [mm] \bruch{1}{64} [/mm] ist auch nur eine andere Variable .Sprich [mm] z=\bruch{1}{8} [/mm]
[mm] z^2=\bruch{1}{64}
[/mm]
das wäre dann:
L= [mm] \integral_{0}^{3}{\wurzel{u^2-z^2} dt} [/mm] =
Dieses Integral kann ich dann mit meiner Integraltabelle aus dem Bartsch einfach auflösen, allerdings ist die Lösung relativ lang , die wäre nämlich:
[mm] \bruch{u}{2}*\wurzel{u^2-z^2}-\bruch{z^2}{2}+arccosh|\bruch{u}{z}|*sgn [/mm] u + C
Wenn ich da dann noch die Grenzen einsetze wird die Rechnung relativ lang für die Punkte die man dafür noch bekommt, jetzt wäre meine Frage ob es einen einfacheren Weg gibt, oder ob das so schon stimmt?
danke,
lg
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Hallo rawberrie,
> Berechnen Sie die Länge der Kurve welche für t [mm]\in[/mm] [0,3]
> gegeben ist durch t--> [mm]\vektor{\bruch{1}{2}(t^2) \\
\bruch{1}{3}(t^\bruch{3}{2})) \\
1}[/mm]
>
> Hab das so gemacht,
> zuerst x,y,z, bestimmt über die ableitungen:
> x=t y= [mm]\bruch{1}{2}t^\bruch{1}{2}[/mm] z=0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> L=
> [mm]\integral_{0}^{3}{\wurzel{t^2+\bruch{1}{2}t^\bruch{1}{2}^2} dt}[/mm]
> =
>
> L= [mm]\integral_{0}^{3}{\wurzel{t^2+\bruch{1}{4}t} dt}[/mm] =
>
> dann bin ich hergegangen und hab mir gedacht ich könnte
> den Term [mm]t^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}t[/mm] auch folgend anschreiben
>
> [mm]t^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}t =(t+\bruch{1}{8})^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{64}[/mm]
>
> und dann Substituieren für u = [mm]t+\bruch{1}{8}[/mm]
>
> dann hätt ich folgendes dastehen:
> L= [mm]\integral_{0}^{3}{\wurzel{u^2-\bruch{1}{64}t} dt}[/mm] =
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Verstehe ich nicht, wieso ersetzt du das Differential nich mit?
Und wieso steht da $-1/64t$ ?
> Und dann einfach sagen mein [mm]\bruch{1}{64}[/mm] ist auch nur
> eine andere Variable .Sprich [mm]z=\bruch{1}{8}[/mm]
>
> [mm]z^2=\bruch{1}{64}[/mm]
>
> das wäre dann:
> L= [mm]\integral_{0}^{3}{\wurzel{u^2-z^2} dt}[/mm] =
> Dieses Integral kann ich dann mit meiner Integraltabelle
> aus dem Bartsch einfach auflösen, allerdings ist die
> Lösung relativ lang , die wäre nämlich:
>
> [mm]\bruch{u}{2}*\wurzel{u^2-z^2}-\bruch{z^2}{2}+arccosh|\bruch{u}{z}|*sgn[/mm]
> u + C
>
> Wenn ich da dann noch die Grenzen einsetze wird die
> Rechnung relativ lang für die Punkte die man dafür noch
> bekommt, jetzt wäre meine Frage ob es einen einfacheren
> Weg gibt, oder ob das so schon stimmt?
Hmm, klammere hier: [mm]\sqrt{\left(x+1/8\right)^2-1/64}[/mm] noch [mm]\frac{1}{64}[/mm] aus:
[mm]...=1/8*\sqrt{(8t+1)^2-1}[/mm]
Dann kannst du in Analogie zum Integral [mm]\int{\sqrt{x^2-1} \ dx}[/mm], das du mit der Substitution [mm]x=\cosh(u)[/mm] erschlagen kannst, bei deinem Integral substituieren:
[mm]8t+1=\cosh(u)[/mm], also [mm]t=\frac{\cosh(u)-1}{8}[/mm]
> danke,
> lg
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 So 26.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Noch etwas: wenn Du substituierst, substituiere auch die Integrationsgrenzen !
FRED
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