Länge der Kurve berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Länge der Kurve {(cos³x,sin³x):x€[0,2pi]} |
[mm] L=\integral_{0}^{2pi}{(x1'²+x2'²)^1/2dx}
[/mm]
((cos³x)')²=(3cos²x*sinx)²
((sin³x)')²=(3sin²x*cosx)²
also:
[mm] L=3\integral_{0}^{2pi}{(cosx*sinxdx)}= [/mm] (sin²0)/2 - (sin²2pi)/2=0
Aber die Länge der Kurve ist doch nicht eins.
Sofern ich oben keinen Fehler gemacht habe glaub ich zu wissen warum das Ergebnis nicht stimmt. Ich muss das Integral zerlegen in mehrere Teilstücke oder?
Aber wie genau mach ich das?
2mal von 0 bis pi?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Länge der Kurve
> {(cos³x,sin³x):x€[0,2pi]}
> [mm]L=\integral_{0}^{2pi}{(x1'²+x2'²)^1/2dx}[/mm]
> ((cos³x)')²=(3cos²x*sinx)²
> ((sin³x)')²=(3sin²x*cosx)²
> also:
> [mm]L=3\integral_{0}^{2pi}{(cosx*sinxdx)}=[/mm] (sin²0)/2 -
> (sin²2pi)/2=0
>
> Aber die Länge der Kurve ist doch nicht eins.
> Sofern ich oben keinen Fehler gemacht habe glaub ich zu
> wissen warum das Ergebnis nicht stimmt. Ich muss das
> Integral zerlegen in mehrere Teilstücke oder?
Merke: [mm] $\wurzel{t^2}=|t|$
[/mm]
Damit:
[mm]L=3\integral_{0}^{2 \pi}{|cosx|*|sinx| dx}= \bruch{3}{2}\integral_{0}^{2 \pi}{|sin(2x)| dx}[/mm]
(Additionstheorem !)
Substituiere t=2x, dann bekommst Du:
[mm] L=\bruch{3}{4}\integral_{0}^{4 \pi}{|sin(t)| dt}
[/mm]
Weiter ist
$ [mm] \integral_{0}^{4 \pi}{|sin(t)| dt}=4*\integral_{0}^{ \pi}{sin(t) dt}$
[/mm]
FRED
> Aber wie genau mach ich das?
> 2mal von 0 bis pi?
>
> Vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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