Länge der Seiten im reg. n-Eck < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 22.08.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | | N-te Einheitswurzeln bilden ein reguläres n-Eck mit einer Seitenlänge von [mm] 2*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] |
Hallo,
ich lerne immer noch und bin ma wiedre auf einen Schritt im Beweis gestoßen, den ich schlecht nachvollziehen kann.
Wir haben die Länge einer Seite ausgerechnet mit dem Abstand von 2 der Einheitswurzeln zueinander. Also: [mm] \left|\alpha_{k}-\alpha_{k-1}\right|=\left|e^{i*\bruch{2\pi k}{n}}-e^{i*\bruch{2\pi (k-1)}{n}}\right| [/mm] Das ist ja auch noch logisch, das sind halt die eingesetzten Werte der Einheitswurzeln, aber der nächste Schritt bereitet mir Porbleme, das hat mein Prof nämlich umgeformt zu [mm] \left|e^{i \* \bruch{2\pi (k-\bruch{1}{2})}{n}}| \* |e^{i \bruch{\pi}{n}}-e^{-i\bruch{\pi}{n}}\right|. [/mm] Ich habe probiert, den Ausdruck auszumultiplizieren, bin aber dann nicht sonderlich weit gekommen, vll kann mir einer von euch ein paar hilfreiche Zwischenschritte geben...
Der Rest des Beweises ist mir wieder klar.
Ich wünsche euch ein schönes Wochenende.
Caro
|
|
| |
|
Hallo cares87,
> N-te Einheitswurzeln bilden ein reguläres n-Eck mit einer
> Seitenlänge von [mm]2*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
> Hallo,
>
> ich lerne immer noch und bin ma wiedre auf einen Schritt im
> Beweis gestoßen, den ich schlecht nachvollziehen kann.
> Wir haben die Länge einer Seite ausgerechnet mit dem
> Abstand von 2 der Einheitswurzeln zueinander. Also:
> [mm]\left|\alpha_{k}-\alpha_{k-1}\right|=\left|e^{i*\bruch{2\pi k}{n}}-e^{i*\bruch{2\pi (k-1)}{n}}\right|[/mm]
> Das ist ja auch noch logisch, das sind halt die
> eingesetzten Werte der Einheitswurzeln, aber der nächste
> Schritt bereitet mir Porbleme, das hat mein Prof nämlich
> umgeformt zu [mm]\left|e^{i \* \bruch{2\pi (k-\bruch{1}{2})}{n}}| \* |e^{i \bruch{\pi}{n}}-e^{-i\bruch{\pi}{n}}\right|.[/mm]
> Ich habe probiert, den Ausdruck auszumultiplizieren, bin
> aber dann nicht sonderlich weit gekommen, vll kann mir
> einer von euch ein paar hilfreiche Zwischenschritte
> geben...
> Der Rest des Beweises ist mir wieder klar.
>
1. Hinweis:
[mm]e^{i \*\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i \sin\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \left|e^{i \*\varphi}\right| = \ \dots[/mm]
2.Hinweis
[mm]e^{i \*\varphi}-e^{-i \*\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i \sin\left(\varphi\right)-\left(\cos\left(\varphi\right)-i \sin\left(\varphi\right)\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \left|e^{i \*\varphi}-e^{-i \*\varphi}\right| = \ \dots [/mm]
> Ich wünsche euch ein schönes Wochenende.
> Caro
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Da wurde nur [mm]\operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot \frac{2 \pi \left( k - \frac{1}{2} \right)}{n}}[/mm] ausgeklammert. Wenn man anders herum vorgeht und ausmultipliziert, erhält man:
[mm]\operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot \frac{2 \pi \left( k - \frac{1}{2} \right)}{n}} \cdot \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\pi}{n}} - \operatorname{e}^{- \operatorname{i} \frac{\pi}{n}} \right) = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot \left( \frac{2 \pi k - \pi + \pi}{n} \right)} - \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot \left( \frac{2 \pi k - \pi - \pi}{n} \right)}[/mm]
Ich habe hier ohne die Beträge gerechnet. Das wäre aber keine zusätzliche Schwierigkeit, da der Betrag mit der Multiplikation verträglich ist.
Das geht elementargeometrisch aber einfacher. Betrachte das gleichschenklige Dreieck, das entsteht, wenn du die Endpunkte einer Seite des [mm]n[/mm]-Ecks mit dessen Mittelpunkt verbindest. Die Schenkel haben die Länge 1 und schließen einen Winkel der Größe [mm]\frac{2 \pi}{n}[/mm] ein, die Basis ist die gesuchte Seite. Jetzt halbiere dieses Dreieck durch seine Symmetrieachse und wende den Sinus im rechtwinkligen Dreieck an. Das ist Schulgeometrie.
|
|
|
|
