Länge einer Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Do 27.05.2010 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | Sei k>=2, k [mm] \in \IN. [/mm] sei [mm] f_k [/mm] wie folgt gegeben:
[mm] f_k:[0,2 \pi] \to \IR^2, [/mm] t [mm] \to f_k(t)= \vektor{cos t + \frac{1}{k}cos kt \\ sin t + \frac{1}{k} sin kt}
[/mm]
Berechnen Sie die Länge der von [mm] f_k [/mm] erzeugten Kurve.
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Für die Länge von [mm] f_k [/mm] sollte gelten [mm] L(f_k)= \integral_{0}^{2 \pi}{\parallel f_k'(t) \parallel dt}.
[/mm]
Dann erhalte ich
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{((-sin t)- sin kt)^2 + (cos t +cos kt)^2} dt},
[/mm]
was ich vereinfacht kriege bis
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2 + 2 sin t sin kt + 2 cos t cos kt} dt}
[/mm]
Stimmt das bis hierher und wenn ja, wie kann ich das Integral eventuell weiter vereinfachen oder auswerten? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 27.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei k>=2, k [mm]\in \IN.[/mm] sei [mm]f_k[/mm] wie folgt gegeben:
>
> [mm]f_k:[0,2 \pi] \to \IR^2,[/mm] t [mm]\to f_k(t)= \vektor{cos t + \frac{1}{k}cos kt \\ sin t + \frac{1}{k} sin kt}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Länge der von [mm]f_k[/mm] erzeugten Kurve.
>
> Für die Länge von [mm]f_k[/mm] sollte gelten [mm]L(f_k)= \integral_{0}^{2 \pi}{\parallel f_k'(t) \parallel dt}.[/mm]
>
> Dann erhalte ich
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{((-sin t)- sin kt)^2 + (cos t +cos kt)^2} dt},[/mm]
>
> was ich vereinfacht kriege bis
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2 + 2 sin t sin kt + 2 cos t cos kt} dt}[/mm]
>
> Stimmt das bis hierher
Ja
> und wenn ja, wie kann ich das
> Integral eventuell weiter vereinfachen
Tipp: Additionstheorem für den Cosinus
FRED
> oder auswerten?
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 27.05.2010 | | Autor: | Limaros |
Komme ich dann auf folgendes??
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2+cos((1-k)t)} dt}
[/mm]
Und wenn ja, wie integriere ich das?
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Hallo Limaros,
> Komme ich dann auf folgendes??
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2+cos((1-k)t)} dt}[/mm]
Das muß hier so lauten:
[mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2+\red{2}cos((1-k)t)} dt}[/mm]
Da [mm]cos((1-k)t)=cos((k-1)t)[/mm],
kann das Integral auch so geschrieben werden:
[mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2+2cos(\blue{(k-1)}t)} dt}[/mm]
Jetzt kannst Du wieder ein Additonstheorem des Cosinus verwenden.
Dann ist ein leichtes, dies zu integrieren.
>
> Und wenn ja, wie integriere ich das?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Fr 28.05.2010 | | Autor: | Limaros |
Okay, die 2 hat sich beim Eintippen verabschiedet, ist aber im Prinzip klar. Dann benutze ich [mm] cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+cos(2x)) [/mm] und komme auf:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2(1+cos(k-1)t} dt}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2} \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{1+cos(k-1)t} dt}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2} \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2cos^2(\frac{k-1}{2}t)} dt}
[/mm]
=2 [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{cos(\frac{k-1}{2}t) dt}
[/mm]
=2 [mm] sin(\frac{k-1}{2} 2\pi) [/mm]
Stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Fr 28.05.2010 | | Autor: | Limaros |
Die letzten 2 Zeilen ist wohl Quatsch... die müßte dann wohl
[mm] \frac{4}{k-1}sin(\frac{k-1}{2}t) [/mm] in den Grenzen von 0 und [mm] 2\pi [/mm] lauten.
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Hallo Limaros,
> Okay, die 2 hat sich beim Eintippen verabschiedet, ist aber
> im Prinzip klar. Dann benutze ich
> [mm]cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+cos(2x))[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also [mm] $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$
[/mm]
> und komme auf:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2(1+cos(k-1)t} dt}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{2} \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{1+cos(k-1)t} dt}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{2} \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{2cos^2(\frac{k-1}{2}t)} dt}[/mm]
>
> =2 [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{cos(\frac{k-1}{2}t) dt}[/mm]
Hier sollte stehen [mm] $2\int\limits_{0}^{2\pi}{\red{\left|}\cos\left(\frac{k-1}{2}\cdot{}t\right)\red{\right|} \ dt}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
> =2
> [mm]sin(\frac{k-1}{2} 2\pi)[/mm]
>
> Stimmt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 28.05.2010 | | Autor: | Limaros |
Danke bis hierher, die Betragsstriche sind sind auch klar. Also bin ich bis:
2 [mm] \integral_{0}^{2\pi}{|cos(\frac{k-1}{2}t)| dt}
[/mm]
[mm] =\frac{4}{k-1}|sin(\frac{k-1}{2}*2\pi)|
[/mm]
Das müßte dann die Länge der Kurve in Abhängigkeit von k sein. Stimmt das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Fr 28.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
für k=3 hätte dann deine Kurve die Länge 0. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Merkst du selbst, was du falsch gemacht hast?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Limaros |
Ja, ich sehe, daß das nicht stimmen kann. Trotzdem, wenn ich meine mutmaßliche Stammfunktion ableite, dann meine ich, daß sie stimmt. Wahrscheinlich stehe ich total auf dem Schlauch, aber ich seh's selber gerade nicht. Also: was habe ich falsch gemacht???
Danke!!!
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Hallo Limaros,
> Ja, ich sehe, daß das nicht stimmen kann. Trotzdem, wenn
> ich meine mutmaßliche Stammfunktion ableite, dann meine
> ich, daß sie stimmt. Wahrscheinlich stehe ich total auf
> dem Schlauch, aber ich seh's selber gerade nicht. Also: was
> habe ich falsch gemacht???
Der zu integrierende Bereich ist aufzuteilen, und zwar Bereiche für die
i) [mm]\cos\left(\bruch{k-1}{2}t\right) \ge 0[/mm]
ii) [mm]\cos\left(\bruch{k-1}{2}t\right) < 0[/mm]
ist.
>
> Danke!!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Limaros |
Na, ich glaube, daß ich vielleicht schon das Problem sehe. Nehmen wir mal an, meine Stammfunktion sei soweit okay, dann hat die Stammfunktion natürlich in Abhängigkeit von k Nullstellen, so daß man das Integral von Nullstelle zu Nullstelle betrachten müßte. Wenn ich's recht übersehe, dann gibt's immer mehr Nullstellen je größer k wird. Kann man das Integral also gar nicht "wirklich" auswerten?!?
Oder gibt's noch 'ne andere Möglichkeit. Ich hatte ja noch mal überlegt, ob man [mm] f_k [/mm] in eine äquivalente Kurve unwandeln kann und dann vielleicht ein besser zu lösendes Integral erhält, hab da aber jetzt erst mal auch nix gefunden...
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