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Länge einer Kurve berechnen: wie substituieren?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Di 20.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
Berechnen Sie die Länge der Kurve [mm] x:[0,3]->R^3, [/mm] wobei x(t)=(cos(2t),sin(2t),2*cosh(t))

Hallo!
Ich habe zuerst die erste ableitung bestimmt.
x'(t)=(-2sin(2t),cos(2t)*2,2sinh(t))
Dann die Norm von x'(t)
[mm] \parallel [/mm] x'(t) [mm] \parallel=\wurzel{4+4sinh(t)} [/mm]
Für die Länge muss ich folgendes Integral bestimmen:
[mm] 2*\integral_{0}^{3}{\wurzel{ 1+sinh(t) }dt} [/mm]

Nun bin ich etwas ratlos, wie ich das Integral lösen kann.
Eigentlich kann man hier nur substituieren, oder?

Ich hab mir überlegt, sinh(t) mit exp zu schreiben, also
[mm] 2*\integral_{0}^{3}{\wurzel{\bruch{2+e^t-e^{-t}}{2} }dt} [/mm]

Kann mir einer ein Tipp geben?

Vielen Dank schonmal

TheBozz-mismo

        
Bezug
Länge einer Kurve berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Di 20.09.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie die Länge der Kurve [mm]x:[0,3]->R^3,[/mm] wobei
> x(t)=(cos(2t),sin(2t),2*cosh(t))

>  Ich habe zuerst die erste ableitung bestimmt.

>  x'(t)=(-2sin(2t),cos(2t)*2,2sinh(t)) [ok]

>  Dann die Norm von x'(t)
>  [mm]\parallel[/mm] x'(t) [mm]\parallel=\wurzel{4+4sinh(t)}[/mm]    [notok]

da hast du fälschlicherweise den sinh(t) nicht quadriert !

>  Für die Länge muss ich folgendes Integral bestimmen:
>  [mm]2*\integral_{0}^{3}{\wurzel{ 1+sinh(t) }dt}[/mm]    [notok]

Mit dem richtigen Integranden geht alles ganz prima !

LG   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Länge einer Kurve berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Di 20.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Ah. Stimmt. Vielen Dank für den Hinweis.

Also neuer Versuch
$ [mm] \integral_{0}^{3}{\wurzel{ 4+4*(\bruch{e^t-e^-t}{2})^2 }dt} [/mm] $
[mm] =\integral_{0}^{3} {\wurzel{4+(e^t-e^-t)^2} dt } [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{3} {\wurzel{e^{2t}+2+e^{-2t}} dt } [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{3} {\wurzel{(e^{t}+e^{-t})^2} dt } [/mm]
[mm] =[e^t-e^{-t}]_{0}^{3}=e^3-e^{-3}=2*sinh(3) [/mm]

Ich hoffe mal, das ist jetzt richtig.
Vielen Dank nochmal
TheBozz-mismo


Bezug
                        
Bezug
Länge einer Kurve berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Di 20.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo TheBozz-mismo,


> Ah. Stimmt. Vielen Dank für den Hinweis.
>  
> Also neuer Versuch
>  [mm]\integral_{0}^{3}{\wurzel{ 4+4*(\bruch{e^t-e^-t}{2})^2 }dt}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{4+(e^t-e^-t)^2} dt }[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{e^{2t}+2+e^{-2t}} dt }[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{(e^{t}+e^{-t})^2} dt }[/mm]
>  
> [mm]=[e^t-e^{-t}]_{0}^{3}=e^3-e^{-3}=2*sinh(3)[/mm] [ok]
>  
> Ich hoffe mal, das ist jetzt richtig.

Das sieht gut aus!

>  Vielen Dank nochmal
>  TheBozz-mismo
>  

Gruß
schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
Länge einer Kurve berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Di 20.09.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ah. Stimmt. Vielen Dank für den Hinweis.
>  
> Also neuer Versuch
>  [mm]\integral_{0}^{3}{\wurzel{ 4+4*(\bruch{e^t-e^-t}{2})^2 }dt}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{4+(e^t-e^-t)^2} dt }[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{e^{2t}+2+e^{-2t}} dt }[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{(e^{t}+e^{-t})^2} dt }[/mm]
>  
> [mm]=[e^t-e^{-t}]_{0}^{3}=e^3-e^{-3}=2*sinh(3)[/mm]
>  
> Ich hoffe mal, das ist jetzt richtig.
>  Vielen Dank nochmal
>  TheBozz-mismo


Das ginge auch gut mit der Gleichung  [mm] 1+sinh^2=cosh^2 [/mm] und mit
den angenehmen Eigenschaften von sinh und cosh beim Ableiten
und Integrieren.
(sinh und cosh haben analoge Eigenschaften wie sin und cos,
nur mit anderen Vorzeichen in den Formeln)

LG   Al-Chw.  


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