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Moin!
Folgendes Problem:
Wie lang ist die Strecke, die zwischen den Geraden g1: r = (4/2) + s* (1/2)
und g2: r = (4/2) + k* (2/-5) liegtund in P (6/0) im Verhältnis 1:2 geteilt wird?
Wie finde ich die gesuchte Strecke?
MfG
Nar-chase
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 So 17.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hi Nar-chases,
veranschauliche dir das ganze in einer Skizze, bei der du die beiden Geraden in ein normales Achsensystem einzeichnest. Dann zeichne noch den Punkt P(6|0) ein und schau' dir das ganze einmal an, denn die Lösung ist wirklich sehr einfach (in diesem Fall).
NACHTRAG:
Zur Überprüfung: Du musst einfach eine senkrecht zur x-Achse stehende Strecke durch P zeichnen, die [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] schneidet. Als Lösung solltest du dann eine Länge von 9 erhalten.
Es gibt aber meiner Ansicht nach noch eine zweite Lösung, denn es wird nicht (klar) angegeben, von welcher "Richtung" aus P die Strecke 1:2 teilen soll. Ich vermute zwar, dass zuerst der Schnittpunkt mit [mm] g_1, [/mm] dann der mit [mm] g_2 [/mm] gemeint ist (, dann wäre mein Ergebnis oben falsch), aber eindeutig ist es nicht.
Eine mögliche Lösung wäre daher meiner Meinung nach auch noch eine Gesamtlänge von [mm]3\wurzel{17}[/mm]. Dabei ist dann der Streckenteil oberhalb der x-Achse [mm]\wurzel{17}[/mm] lang, der unterhalb [mm]2\wurzel{17}[/mm]. Bis ich darauf gekommen bin, hat allerdings etwas länger gedauert (hauptsächlich aber, weil ich heute viele Fehler aufgrund von Konzentrationsschwierigkeiten gemacht habe). Das Vorgehen war wie folgt: Ich führe eine Hilfsgerade h ein, die sowohl [mm] g_1 [/mm] als auch [mm] g_2 [/mm] schneidet und durch P(6|0) geht (in der Zwischenzeit hatte ich die Geraden als Funktionen umgeschrieben: [mm]g_1(x) = 2x - 6 ; g_2(x) = -2,5x + 12[/mm]. Die neue Gerade musste auch die Form [mm]h(x) = mx + c[/mm] erfüllen. Den Punkt P(6|0) hatte ich schon, also [mm]0 = 6m+c \gdw c = -6m \Rightarrow h(x) = mx-6m = m(x-6)[/mm]. Danach habe ich die Schnittstellen von h mit [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] ermittelt (hier die Ergebnisse in Abhängigkeit von m:[mm]x_1 = \bruch{6(m-1)}{m-2} ; x_2 = \bruch{6(2+m)}{m+2,5}[/mm] [mm] (x_1 [/mm] ist die Schnittstelle mit [mm] g_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] die mit [mm] g_2)). [/mm] Jetzt wusste ich (aus meiner Skizze), dass gelten muss: [mm]2g_1(x_1) = -g(x_2)[/mm] (das Verhältnis von 1:2 steckt hier mit drin, ebenso die Tatsache, dass [mm] G_1(x_1|g_1(x_1)) [/mm] oberhalb und [mm] G_2(x_2|g_2(x_2)) [/mm] unterhalb der x-Achse liegen (daher das Minus, das bei Streckenlängen ja nicht auftaucht); darauf gekommen bin ich durch einen Strahlensatz, ohne Skizze wäre das natürlich nicht möglich gewesen). Für m erhält man dann (-4). Damit hat man auch die Schnittstellen mit [mm] g_1: x_1 [/mm] = 5 und [mm] g_2: x_2 [/mm] = 8. Jeztt kann man (zum Beispiel mit dem Satz von Pythagoras) die Längen zwischen den Schnittpunkten und P ausrechnen und gelangt zu dem oben genannten Ergebnis.
Gruß,
mathrix
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