Länge eines Graphen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 05.01.2012 | | Autor: | Mephi |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
[mm]f(x)=e^ \bruch{x}{7}*sin(x) - ln(2x+3.2)[/mm]
wobei sich x zwischen -1 und +2 bewegt
Berechnen Sie hiermit numerisch die Weglänge mit einer Genauigkeit von
[mm]\varepsilon = 10^-^2[/mm]
Was meint er hier mit numerisch berechnen?
Prinzipiel hab ich mir erstmal gedacht
[mm]L(a,b)=\int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2} [/mm]
[mm]f'(x)=e^\bruch{x}{7}(\bruch{sin(x) cos(x)}{7}) - \bruch{1}{x+1.6}[/mm]
damit komm ich auf
[mm]L(-1,2)=\left | -0,27711 + 1,6688 \right | = 1,3977[/mm]
Für die gegebene Genauigkeit muss ich das jetzt noch auf 1,40 runden?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Do 05.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
> [mm]f(x)=e^ \bruch{x}{7}*sin(x) - ln(2x+3.2)[/mm]
> wobei sich x
> zwischen -1 und +2 bewegt
> Berechnen Sie hiermit numerisch die Weglänge mit einer
> Genauigkeit von
> [mm]\varepsilon = 10^-^2[/mm]
>
> Was meint er hier mit numerisch berechnen?
> Prinzipiel hab ich mir erstmal gedacht
> [mm]L(a,b)=\int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=e^\bruch{x}{7}(\bruch{sin(x) cos(x)}{7}) - \bruch{1}{x+1.6}[/mm]
>
> damit komm ich auf
> [mm]L(-1,2)=\left | -0,27711 + 1,6688 \right | = 1,3977[/mm]
>
Hallo,
Du hast
[mm] $f:[-1,2]\rightarrow\R$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\exp\left(\frac{x}{7}\right)\sin(x)-\ln\left(2x+3.2\right)$
[/mm]
mit der zugehörigen Ableitung
[mm] $f':[-1,2]\rightarrow\R$ [/mm] mit [mm] $f'(x)=\frac{1}{7}\exp\left(\frac{x}{7}\right)\sin(x)+\exp\left(\frac{x}{7}\right)\cos(x)-\frac{2}{2x+3.2}$
[/mm]
Hier hast Du einen Rechenfehler gemacht (-> Produktregel). Nun sollst Du die Länge des Strecke berechnen, die die Punkte $(-1,f(-1))$ und $(2,f(2))$ miteinander verbindet. Die Formel dafür lautet
[mm] $L(a,b)=\int_a^b\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx$
[/mm]
Hier musst Du die obige Ableitung, $a=-1$ und $b=2$ verwenden. Die Stammfunktion des Integranden lässt sich jedoch nicht analytisch angeben. Daher musst Du dieses Integral numerisch lösen (-> numerische Integration) und zwar mit einem Verfahren, dass Dir die geforderte Genauigkeit des Ergebnisses garantiert.
Analytisch lässt sich der Abstand zwischen den Punkten $(-1,f(-1))$ und $(2,f(2))$ leicht mittels der euklidischen Norm berechnen:
[mm] $L(a,b)=\sqrt{\left(-1+2\right)^2+\left(f(-1)-f(2)\right)^2}$
[/mm]
Damit hast Du ein analytisches Ergebnis. Du musst Dir nun nur überlegen, welches Verfahren Du für die numerische Integration verwenden sollst/kannst und musst anschließend dieses Verfahren auf Dein Integral anwenden.
Gruß Denny
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:37 So 24.06.2012 | | Autor: | jack2k3 |
Hallo Mephi und Denny22,
ich denke mal, das ich die selbe Schule wie Mephi besuche (aber ich bin ein Jahrgang später...) und habe nun dieselbe Aufgabe.
Jedoch komme ich noch nicht so ganz damit klar, womit es nun mit dem L weitergeht. Denn bei den Lösungen würde mir nun nur die Newton Formel einfallen, aber wenn ich das gegebene L von Denny22 einsetzte, dann wandert das ganze bei mir in der Rechnung nie gegen einen Näherungswert.
Vielleicht könnt ihr beiden (falls Ihr noch einmal an dieser Fragestellung vorbeikommt) noch einen Tip geben.
Gruß
Jack2k3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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