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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Länge von Vektoren
Länge von Vektoren < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Länge von Vektoren: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Mi 16.04.2008
Autor: Bine17

Aufgabe
Welche Länge hat der Vektor [mm] \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} [/mm] bezüglich des Skalarprodukts [mm] :=v^T*\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}*w? [/mm]

Ich weiß zwar wie man die Länge eines Vektors bestimmt. Weiß aber überhaupt nicht was ich machen muss bezüglich des definierten Skalarprodukts. Ich danke für jede Hilfe

        
Bezug
Länge von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mi 16.04.2008
Autor: Bastiane

Hallo Bine17!

> Welche Länge hat der Vektor
> [mm]\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}[/mm] bezüglich des
> Skalarprodukts
> [mm]:=v^T*\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}*w?[/mm]
>  Ich weiß zwar wie man die Länge eines Vektors bestimmt.
> Weiß aber überhaupt nicht was ich machen muss bezüglich des
> definierten Skalarprodukts. Ich danke für jede Hilfe

Ich nehme an, dass mit Länge hier die Norm gemeint ist, und man kann eine Norm bzgl. eines Skalarproduktes definieren (schau auch mal []hier), dann gilt: [mm] ||x||=\wurzel{}. [/mm] Du musst also das Skalarprodukt von dem Vektor mit sich selbst berechnen und daraus dann die Wurzel ziehen - dann hast du die Länge. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Länge von Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Mi 16.04.2008
Autor: Bine17

Wie berechne ich <x,x>?

Bezug
                        
Bezug
Länge von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Mi 16.04.2008
Autor: zahllos

Hallo Bine,

das Skalarprodukt zweier Vektoren v,w ist in diesem Fall definiert
durch: [mm] =v^T [/mm] Aw
wobei A die angegebene Matrix ist.
Die Länge eines Vektors v ist die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst: [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{v^TAv} [/mm] .
Du berechnest also erstmal den Hilfsvektor w = A v und dann [mm] v^T [/mm] w
nach der Formel: [mm] v^T [/mm] w = [mm] \summe_{k=1}^{N} v_i w_i [/mm]
und ziehst schließlich die Wurzel.  
(Ich habe die Länge 2 herausbekommen)




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