Längen und Winkel im Dreieck < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Nico0175 |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Dreieck mit den Seiten a,b,c.
Seite b ist ein Meter länger als Seite a.
Seite c ist ein Meter kürzer als Seite a.
Der größte Winkel im Dreieck ist doppelt so groß wie der kleinste Winkel.
Wie lang ist Seite a?
(Es wird eine elegante Lösung gesucht, also nur ein paar Zeilen, keine Seitenlange Rechnung). |
Es ist keine Problem, über zig Umstellungen von Sinus- und Cosinussatz usw. zum Ergebnis zu kommen. Hat aber eine Idee, wie das Problem elegant und in ein paar Zeilen zu lösen ist? Über Ansätze wäre ich dankbar.
Nico.
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Wegen b>a>c folgt [mm] \beta>\alpha>\gamma. [/mm] Laut Aufgabenstellung ist b=a+1 und c=a-1 und [mm] \beta=2*\gamma. [/mm] Also [mm] \alpha=\pi-3*\gamma.
[/mm]
Mit Sinussatz folgt: [mm] \bruch{a}{sin(3\gamma)}=\bruch{a+1}{sin(2\gamma)}=\bruch{a-1}{sin\gamma}
[/mm]
Letzte Gleichung umgeformt liefert [mm] cos\gamma=\bruch{a+1}{2*(a-1)}
[/mm]
Erster und dritter Term liefert [mm] \bruch{a}{a-1}=3-4*sin^2(\gamma)=-1+\bruch{(a+1)^2}{(a-1)^2} [/mm] wobei [mm] cos^2+sin^2=1 [/mm] verwendet wurde.
Weitere Umformung liefert [mm] a^2=5*a. [/mm] Bei a=0 liegt kein wirkliches Dreieck vor, so dass als Lösung a=5 verbleibt.
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