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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:03 Di 30.12.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2}. [/mm] Bestimmen Sie gegebenfalls die Gleichung der Schnittgeraden.
a) [mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{4 \\ 1 \\ 1}+r_{1}\cdot\vektor{1 \\ 0 \\ 5}+s_{1}\cdot\vektor{-2 \\ 3 \\ 7}, \\E_{2}:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 13 \\ 9}+r_{2}\cdot\vektor{-8 \\ 1 \\ 5}+s_{2}\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
b) [mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r_{1}\cdot\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+s_{1}\cdot\vektor{4 \\ -1 \\ 0}, E_{2}:\vec{x}=\vektor{11 \\ -5 \\ -3}+r_{2}\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ 2}-s_{2}\cdot\vektor{10 \\ 11 \\ 18}
[/mm]
c) [mm] E_{1}:4x_{1}+6x_{2}-11x_{3}=0, E_{2}:x_{1}-x_{2}-x_{3}=0
[/mm]
d) [mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}+r\cdot\vektor{1 \\ -2 \\ 1}+s\cdot\vektor{7 \\ 4 \\ 0}, E_{2}:x_{1}-3x_{2}-9x_{3}=-70 [/mm] |
Quelle: Lineare Algebra und Analytische Geometrie
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[mm] a)E_{1}:\vec{x}=\vektor{4 \\ 1 \\ 1}+r_{1}\cdot\vektor{1 \\ 0 \\ 5}+s_{1}\cdot\vektor{-2 \\ 3 \\ 7}, \\E_{2}:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 13 \\ 9}+r_{2}\cdot\vektor{-8 \\ 1 \\ 5}+s_{2}\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
Zur Untersuchung der gegenseitigen Lage von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] forme ich eine der Ebenen [mm] (E_1) [/mm] von der Parameterform in die Koordinatenform um:
Die allgemeine Koordinatenform einer Ebene lautet: E: [mm] n_1x_1 [/mm] + [mm] n_2x_2 [/mm] + [mm] n_3x_3 [/mm] = [mm] \vec{n}*\overrightarrow{OV} [/mm] (Normalvektor mal Ortsvektor der Ebene)
Zuerst muss ich den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] von [mm] E_1 [/mm] bestimmen. Dazu bildet man das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
[mm] \vec{n}=\overrightarrow{rv_1} [/mm] x [mm] \overrightarrow{rv_2}:
[/mm]
Ich berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von E1:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 5} [/mm] x [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 7} [/mm] = [mm] 0*7-5*3=n_x [/mm] ; 5*(-2)-1*7 [mm] =n_y [/mm] und [mm] 1*3-0*(-2)=n_z [/mm] ergibt [mm] \vec{n}=\vektor{-15 \\ -17 \\ 3}
[/mm]
Für den Normalenvektor einer Ebene gilt: er steht senkrecht auf der Ebene und sein Produkt (Skalarprodukt) mit den Richtungsvektoren der Ebene ist gleich Null !
[mm] \vec{n}*\overrightarrow{rv_1}=\vec{n}*\overrightarrow{rv_2}=0
[/mm]
Jetzt benötigen wir noch das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Ortsvektor der Ebene:
[mm] \vec{n}*\overrightarrow{OV}: \vektor{-15 \\ -17 \\ 3}*\vektor{4 \\ 1 \\ 1}=(-15)*4+(-17)*1+3*1=-74 [/mm] (Das Ergebnis ist eine Zahl)
damit lautet die Koordinatenform von [mm] E_1: [/mm] -15x-17y+3z=-74
Jetzt setzen wir [mm] E_2 [/mm] in [mm] E_1 [/mm] ein:
[mm] -15*(-8-8r_2+2s_2)-17*(13+r_2+s_2)+3*(9+5r_2-4s_2)=-74 [/mm] dies ergibt [mm] zusammengefasst-74+118r_2-59s_2=-74 [/mm] |+74 und :59 ergibt [mm] s_2=2r_2
[/mm]
Dieses Ergebnis bedeutet, dass sich [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] schneiden und eine Schnittgerade g bilden ! Ich setze nun [mm] s_2=2r_2 [/mm] in [mm] E_2
[/mm]
[mm] g:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 13 \\ 9}+r_2\left(\vektor{-8 \\ 1 \\ 5}+\vektor{4 \\ 2 \\ -8}\right) [/mm] zusammengefasst
[mm] g:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 13 \\ 9}+r_2\vektor{-4 \\ 3 \\ -3}
[/mm]
wenn man anders herum rechnet, also von [mm] E_2 [/mm] nach [mm] E_1, [/mm] dann kommt eine identische Gerade heraus !
[mm] b)E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r_{1}\cdot\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+s_{1}\cdot\vektor{4 \\ -1 \\ 0}, E_{2}:\vec{x}=\vektor{11 \\ -5 \\ -3}+r_{2}\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ 2}-s_{2}\cdot\vektor{10 \\ 11 \\ 18}
[/mm]
Vorgehen wie in Aufgabe a): ich erhalte [mm] \vec{n}=\vektor{3 \\ 12 \\ -9} [/mm] und für [mm] E_1: [/mm] 3x+12y-9z=-6
nach Einsetzen von [mm] E_2 [/mm] in [mm] E_1 [/mm] erhielt ich: -27=-6 diese "Ungleichung" mit den weggefallenen Variablen [mm] r_2 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] bedeutet, dass [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] parallel zueinander liegen. Identisch wären beide Ebenen, wenn es z.B. -6=-6 oder auch 0=0 hieße !
Probe:
Ich bestimme den Normalenvektor von [mm] E_2 [/mm] und prüfe, ob er von dem Normalenvektor von [mm] E_1 [/mm] linear abhängig ist !:
für [mm] \vec{n_{E_2}} [/mm] erhielt ich [mm] \vektor{4 \\ 16 \\ -12}, [/mm] nun stellte ich die Gleichung auf:
[mm] \vec{n_{E_1}}=\lambda\vec{n_{E_2}} [/mm] und eingesetzt
[mm] \vektor{3 \\ 12 \\ -9}=\lambda\vektor{4 \\ 16 \\ -12} \Rightarrow \lambda=\bruch{4}{3} [/mm] da es ein [mm] \lambda [/mm] gibt, sind die Ebenen parallel zueinander !
[mm] c)E_{1}:4x_{1}+6x_{2}-11x_{3}=0, E_{2}:x_{1}-x_{2}-x_{3}=0 [/mm] diesmal sind beide Ebenengleichungen in Koordinatenform ! wie man leicht erkennen kann sind beide Normalenvektoren [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ -11} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] linear nicht abhängig. Es gibt kein [mm] \lambda, [/mm] das aus dem einen den anderen Vektor macht...Um die Schnittgerade zu bestimmen, bringe ich [mm] E_1 [/mm] in die Parameterform:
Ich benötige zwei Richtungsvektoren, die mit dem Normalenvektor multipliziert Null ergeben. Dann benötige ich noch den Ortsvektor, der multipliziert mit dem Normalenvektor in diesem Fall ebenfalls gleich Null ist.
Beim ersten Richtungsvektor setzte ich Z=0, beim zweiten y=Null und beim Ortsvektor x=0. Als Ebenengleichung erhielt ich:
[mm] E_1:\vec{x}=\vektor{0 \\ -6 \\ -11}+r\vektor{3 \\ -2 \\ 0}+s\vektor{11 \\ 0 \\ 4} [/mm] (alle 3 Vektoren ergeben multipliziert mit dem Normalenvektor jeweils Null !)
Jetzt setze ich [mm] E_1 [/mm] in [mm] E_2: x_1-x_2-x3=0 [/mm] ein:
1*((0+3r+11)-1*(-6-2r+0*s)-1*(11+0*r+4s)=0
zusammengefasst ergibt dies
6+5r-4s=0 oder [mm] s=\bruch{3}{2}+\bruch{5}{4}r
[/mm]
Ich setze s in [mm] E_1 [/mm] ein und erhalte die Schnittgerade g:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{\bruch{33}{2} \\ -6 \\ 17}+r\vektor{\bruch{67}{4} \\ -2 \\ 5} [/mm] (=Schnittgerade von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2) [/mm]
[mm] d)E_{1}:\vec{x}=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}+r\cdot\vektor{1 \\ -2 \\ 1}+s\cdot\vektor{7 \\ 4 \\ 0}, E_{2}:x_{1}-3x_{2}-9x_{3}=-70
[/mm]
ich setze [mm] E_1 [/mm] in [mm] E_2 [/mm] ein und erhalte: [mm] r=-\bruch{5}{2}s-1 [/mm] d.h. es gibt eine Schnittgerade !
[mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] sind weder parallel noch identisch !
Ich setze r in [mm] E_1 [/mm] ein und erhalte die Schnittgerade:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 6 \\ 6}+s\vektor{\bruch{9}{2} \\ 9 \\ -\bruch{5}{2}} [/mm] (=Schnittgerade von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2)
[/mm]
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Do 30.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich nehme mal an, das du deine Ergebnisse kontrolliert haben möchtest Wenn das so ist, kann ich nur sagen: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Sehr gut finde ich auch die Erklärungen dazu. Das ist sehr vorbildlich.
Marius
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Hallo Marius, danke für die netten Worte !
Bin recht frisch in der Vektorrechnung. habe mir einige Videos auf www.oberprima.com angeschaut. Da ist Vieles recht gut erklärt. Habe die eine oder andere Erklärung übernommen.
Schorsch
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