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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:09 Di 30.12.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E. Bestimme gegebenfalls den Durchstoßpunkt.
a) [mm] g:\vec{x}=\vektor{4 \\ 0 \\ 8}+r\cdot\vektor{1 \\ 3 \\ 0}, E:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+s\cdot\vektor{2 \\ 3 \\ 1}+t\cdot\vektor{1 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
b) [mm] g:\vec{x}=\vektor{4 \\ 4 \\ -7}+r\cdot\vektor{5 \\ 1 \\ -1}, E:4x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=7 [/mm] |
Quelle: Lineare Algebra und Analytische Geometrie
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[mm] a)g:\vec{x}=\vektor{4 \\ 0 \\ 8}+r\cdot\vektor{1 \\ 3 \\ 0}, E:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+s\cdot\vektor{2 \\ 3 \\ 1}+t\cdot\vektor{1 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
Sowohl die Gerade als auch die Ebene sind in Parameterform (oder auch "Punkt-Richtungs-Form") gegeben. Zuerst überprüfe ich, ob Gerade und Ebene kollinear (=parallel) oder orthogonal (senkrecht) zueinander liegen !
1.Prüfen der Kollinearität:
Um parallel zu sein, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
Die Richtungsvektoren der Gerade und der Ebene müssen linear abhängig sein !
Ich nehme den Richtungsvektor der Geraden [mm] \overrightarrow{rv}=\vektor{1 \\ 3 \\ 0} [/mm] und die Richtungsvektoren der Ebene [mm] \overrightarrow{re_1}=\vektor{2 \\ 3 \\ 1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{re_2}=\vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] und stelle folgende Gleichungen auf:
I: [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0}=\lambda\vektor{2 \\ 3 \\ 1} [/mm] und
II: [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0}=\mu\vektor{1 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
als LGS (Lineares Gleichungssystem) geschrieben:
I: 1 = [mm] 2\lambda
[/mm]
II: 3 = [mm] 3\lambda
[/mm]
III: 0 = [mm] \lambda
[/mm]
I: 1 = [mm] \mu
[/mm]
II: 3 = [mm] 4\mu
[/mm]
III: 0 = [mm] -3\mu
[/mm]
wie man leicht erkennen kann, gibt es kein [mm] \lambda [/mm] und kein [mm] \mu [/mm] das jeweils alle 3 Gleichungen erfüllt ! Die vorliegende Gerade und die Ebene sind also weder parallel noch liegt die Gerade in der Ebene ! Damit gibt es auf jeden Fall einen Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene ! Die folgende Überprüfung auf Orthogonalität bräuchte man nur durchführen, wenn dies in der Aufgabenstellung gefordert ist. Dies hatte ich vergessen zu erwähnen. Dank an Loddar für diesen Hinweis. Schorsch
2. Prüfen auf Orthogonalität:
Um orthogonal zueinander zu sein, muss das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich Null sein:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet sich so:
[mm] \vec{a}*\vec{b}=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}*\vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
[/mm]
[mm] \overrightarrow{rv}=\vektor{1 \\ 3 \\ 0}*\overrightarrow{re_1}=\vektor{2 \\ 3 \\ 1}=1*2+3*3+0*1=11 [/mm] und [mm] 11\not=0 [/mm] also nicht orthogonal !
Den zweiten Richtungsvektor der Ebene bräuchte man jetzt eigentlich nicht mehr überprüfen. Ich tue es aber dennoch:
[mm] \overrightarrow{rv}=\vektor{1 \\ 3 \\ 0}*\overrightarrow{re_2}=\vektor{1 \\ 4 \\ -3}=1*1+3*4+0*(-3)=13 [/mm] und [mm] 13\not=0
[/mm]
Da sich sowohl Gerade als auch Ebene im Raum unendlich weit bewegen, muss es einen Schnittpunkt (=Durchstoßpunkt der Gerade durch die Ebene) geben. Die Eigenschaft "windschief" zwischen Gerade und Ebene gibt es hier nicht (vielleicht ja in Räumen mit mehr als 3 Dimensionen ?).
Ich bestimme nun den Schnittpunkt S. Dazu setze ich die beiden Gleichungen gleich und erhalte ein LGS mit 3 Unbekannten r, s und t:
g=E ergibt
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 8}+r\cdot\vektor{1 \\ 3 \\ 0}=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+s\cdot\vektor{2 \\ 3 \\ 1}+t\cdot\vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] als LGS:
I 4 + r = 1 + 2s + t
II 0 + 3r = 2 + 3s +4t
III 8 + 0*r = -1 + s - 3t
umgeformt zu
I: r - 2s - t = -3
II: 3r - 3s - 4t = 2
III: 0*r - s + 3t = -9
zum Lösen dieses LGS gibt es verschiedene Möglichkeiten. Ich benutze das Additions- und Subtraktionsverfahren.
Da in III das r schon nicht mehr vorkommt (0*r=0), multipliziere ich I mit 3 und rechne 3*I-II. Dann erhalte ich:
3*I-II: - 3s + t = -11
III: -s + 3t = -9
nun eliminiere ich das t, indem ich 3*I-II mit 3 multipliziere und von III subtrahiere:
es bleibt übrig 8s = 24 | :8 ergibt s = 3
durch Einsetzen erhalten ich t = -2 und r = 1.
Nun kann ich den Schnittpunkt S berechnen, indem ich r=1 in die Geradengleichung und (zur Probe, siehe dazu auch Kommentar weiter unten) s=3 und t=-2 in die Ebenengleichung einsetze:
[mm] \vec{S}=\vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3}=\vektor{4 \\ 0 \\ 8}+1\cdot\vektor{1 \\ 3 \\ 0}, E:\vec{x}=\vektor{5 \\ 3 \\ 8}
[/mm]
und
[mm] \vec{S}=\vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3}=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+3\cdot\vektor{2 \\ 3 \\ 1}-2\cdot\vektor{1 \\ 4 \\ -3}=\vektor{5 \\ 3 \\ 8}
[/mm]
Der Schnittpunkt von Gerade und Ebene lautet somit S (5|3|8)
Übrigens: Die Probe sollte man ruhig machen ! Habe mich bei der Lösung des LGS selbst mehrfach ! verrechnet und stolperte erst beim Eingeben der Lösung über meinen Fehler !
[mm] b)g:\vec{x}=\vektor{4 \\ 4 \\ -7}+r\cdot\vektor{5 \\ 1 \\ -1}, E:4x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=7
[/mm]
Gegeben ist eine Gerade g in Parameterform und eine Ebene in Koordinatenform.
Wie in Aufgabe a) untersuche ich zuerst auf Kollinearität und Orthogonalität.
Dazu betrachte ich das Verhältnis des Geraden-Richtungsvektors [mm] \overrightarrow{rv}=\vektor{5 \\ 1 \\ -1}zum [/mm] Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n_e}=\vektor{4 \\ 3 \\ -5}der [/mm] Ebene
1. Die Gerade ist kollinear zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht, d.h. wenn das Skalarprodukt beider Vektoren gleich Null ist.
[mm] \overrightarrow{rv}=\vektor{5 \\ 1 \\ -1}*\overrightarrow{n_e}=\vektor{4 \\ 3 \\ -5}=5*4+1*3+(-1)*(-5)=28\not=0
[/mm]
Damit ist die Gerade zur Ebene weder parallel, noch liegt sie in der Ebene !
2. Die Gerade ist orthogonal zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor vom Normalenvektor der Ebene linear abhängig ist !
Dazu müsste gelten: [mm] \overrightarrow{rv}=\vektor{5 \\ 1 \\ -1}=\lambda\overrightarrow{n_e}=\lambda\vektor{4 \\ 3 \\ -5}
[/mm]
als LGS geschrieben:
I: 5 = [mm] 4\lambda
[/mm]
II: 1 = [mm] 3\lambda
[/mm]
III: -1 = [mm] -5\lambda
[/mm]
man kann schnell sehen, das es kein [mm] \lambda [/mm] gibt, dass alle 3 Gleichungen erfüllt. Damit steht die gerade zur Ebene nicht senkrecht !
Es gibt aber einen Schnittpunkt (siehe Ausführungen zu Aufgabe a)) !
Zur Ermittlung des Schnittpunktes S braucht man nur die Geradengleichung in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen:
dies ergibt:
4*(4+5r)+3*(4+r)-5*(-7-r)=7 nun ausmultiplizieren
16+20r+12+3r+35+5r=7 nun zusammenfassen
63+28r=7 | -63
28r=-56 | :28 ergibt r = -2
Nun setze ich r=-2 in die Geradengleichung ein und erhalte:
[mm] \vec{S}=\vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3}=\vektor{4 \\ 4 \\ -7}-2\vektor{5 \\ 1 \\ -1}=\vektor{-6 \\ 2 \\ -5}
[/mm]
Der Schnittpunkt von Gerade und Ebene lautet somit S (-6|2|-5)
Zur Probe setze ich [mm] \vec{S} [/mm] in E ein:
4*(-6)+3*2-5*(-5)=7 ergibt 7=7 oder 0=0 dies bedeutet, dass der Punkt S in der Ebene liegt !
(Folgende Überlegungen standen nicht in der Aufgabenstellung) Übrigens: Bei dieser Probe hatten wir ja vorliegen: Produkt aus Normalenvektor und Schnittpunktvektor der Gerade mit der Ebene. Das Ergebnis ist gleich dem Produkt von Normalenvektor und Ortsvektor der Ebene !
Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ist gleichzeitig Ortsvektor der Ebene, wenn beide Skalare der Richtungsvektoren der Ebene gleich Null sind !
Dies ergibt sich aus der Parameterform der Ebenengleichung
Habe die Koordinatenform der vorliegenden Ebenengleichung in die Parameterform umgewandelt und folgendes erhalten:
[mm] E:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+r\vektor{0 \\ 5 \\ 3}+s\vektor{5 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
[mm] \vec{S}=\vektor{-6 \\ 2 \\ -5} [/mm] in diese Gleichung eingesetzt ergibt [mm] r=\bruch{1}{5} [/mm] und [mm] s=-\bruch{7}{5}
[/mm]
Wenn man den Schnittpunktsvektor aus der Aufgabe als Ortsvektor einsetzt, ergibt dies:
[mm] E:\vec{x}=\vektor{-6 \\ 2 \\ -5}+r\vektor{0 \\ 5 \\ 3}+s\vektor{5 \\ 0 \\ 4} [/mm] wie man schnell sieht, geht diese Gleichung nach Einsetzen des Punktes S nur auf, wenn r und s Null sind !
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Vorneweg: ich habe dasselbe Ergebnis erhalten.
Mir ist jedoch nicht ganz klar, was du mit dem "Überprüfen der Orthogonalität" bezwecken willst.
Denn bereits nach Überprüfen der Kollinearität ist klar, dass es einen Schnittpunkt geben muss.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
vielleicht sollte ich nach der negativen Überprüfung auf Parallelität hinzuschreiben, was dieses Ergebnis genau bedeutet !
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Auch hier komme ich auf denselben Schnittpunkt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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