Lage Gerade-Gerade < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:51 Di 30.12.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Untersuche Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.
a) [mm] \\g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+r\cdot\vektor{3 \\ 4 \\ 0}, \\h:\vec{x}=\vektor{5 \\ 6 \\ 1}+s\cdot\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
b) [mm] \\g:\vec{x}=\vektor{7 \\ 1 \\ 0}+r\cdot\vektor{2 \\ -4 \\ 6}, \\h:\vec{x}=\vektor{8 \\ -1 \\ 3}+s\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ -3}
[/mm]
c) [mm] \\g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 5 \\ 7}+r\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}, \\h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 5 \\ 1}+s\cdot\vektor{-4 \\ -2 \\ 8} [/mm] |
Quelle: Lineare Algebra und analytische Geometrie
|
|
| |
|
Bei der Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier Geraden g und h gibt es vier Möglichkeiten:
1. g und h sind parallel
2. g und h sind parallel und identisch
3. g und h schneiden sich in einem Punkt S
4. g und h schneiden sich nicht und sind windschief
[mm] a)\\g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+r\cdot\vektor{3 \\ 4 \\ 0}, \\h:\vec{x}=\vektor{5 \\ 6 \\ 1}+s\cdot\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
a)1. Sind die Richtungsvektoren kollinear ? Es muesste gelten: [mm] r\cdot\vektor{3 \\ 4 \\ 0}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
ich schreibe die Daten als lineare Gleichungen:
I 3r =-1
II 4r=1
III 0r=1 Wie man schnell erkennt, gibt es kein r, dass die 3 Gleichungen erfüllt. Damit ist bewiesen, das g und h nicht parallel und damit auch nicht identisch sind.
a)3. Gibt es einen Schnittpunkt ? Es müsste [mm] gelten:Schnittpunktsvektor=\vec{S}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+r\cdot\vektor{3 \\ 4 \\ 0}=\vektor{5 \\ 6 \\ 1}+s\cdot\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Als LGS (=lineares Gleichungssystem) geschrieben:
I 1 + 3r = 5 - s
II 0 + 4r = 6 + s
III 3 = 1 + s [mm] \Rightarrow [/mm] s=2 setze s=2 in I und II ein:
I 1 + 3r = 5 - 2 [mm] \Rightarrow r=\bruch{2}{3}
[/mm]
II 4r = 6 + 2 [mm] \Rightarrow [/mm] r=2
da dies ein Widerspruch W! ist, gibt es zwischen g und h keinen Schnittpunkt.
Damit sind g und h windschief !
[mm] b)\\g:\vec{x}=\vektor{7 \\ 1 \\ 0}+r\cdot\vektor{2 \\ -4 \\ 6}, \\h:\vec{x}=\vektor{8 \\ -1 \\ 3}+s\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ -3}
[/mm]
b)1. gilt [mm] r\cdot\vektor{2 \\ -4 \\ 6}=\vektor{-1 \\ 2 \\ -3} [/mm] ?
I 2r = -1 [mm] \Rightarrow r=-\bruch{1}{2}
[/mm]
II -4r = 2 [mm] \Rightarrow r=-\bruch{1}{2}
[/mm]
III 6r = -3 [mm] \Rightarrow r=-\bruch{1}{2} [/mm] stimmt überein, damit sind g und h parallel !
b)2. Sind g und h sogar identisch ? Wenn ja, müsste gelten: [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] r*\vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] (=Ortsvektor der 2.Gerade) in diesem Fall hieße die zu erfüllende Gleichung so:
[mm] \vektor{7 \\ 1 \\ 0}+r\cdot\vektor{2 \\ -4 \\ 6}=\vektor{8 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
als LGS:
I 7 +2r = 8
II 1 -4r = -1
III 0 +6r = 3 ergibt dies für alle [mm] r=\bruch{1}{2}, [/mm] damit sind g und h auch identisch !
[mm] c)\\g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 5 \\ 7}+r\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}, \\h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 5 \\ 1}+s\cdot\vektor{-4 \\ -2 \\ 8}
[/mm]
c)1. g und h kollinear ?
Ja, da [mm] r\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}=\vektor{-4 \\ -2 \\ 8} [/mm] mit r=-2
c)2. g und h identisch ?
nein ! da [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 7}+r\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}=\vektor{1 \\ 5 \\ 1} [/mm] durch kein r erfüllt wird (für r gibt es 3 verschiedene Werte: -0.5, 0 und [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Da g und h parallel sind, kann es keinen Schnittpunkt geben ! Zudem können g und h auch nicht windschief sein !
Schorsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 So 26.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Alles okay!
Gruß
Loddar
|
|
|
|
