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Lage Gerade-Gerade II: anal. Geom. der Geraden
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 17:04 Di 30.12.2008
Autor: argl

Aufgabe

Berechnen Sie jeweils die Relationen der Geraden g und h !

[mm] a)$g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}$ $h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}$ [/mm]

[mm] b)$g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}$ $h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3}$ [/mm]

[mm] c)$g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+r\cdot\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}$ $h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3}$ [/mm]

[mm] d)$g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}+r\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}$ [/mm]  $ [mm] h:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 6 \\ 6}+s\cdot\vektor{2 \\ -4\\ -6}$ [/mm]





        
Bezug
Lage Gerade-Gerade II: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 Sa 25.04.2009
Autor: Schachschorsch56

[mm] a)g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2} h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{-2 \\ -2 \\ 4} [/mm]

Relationen = Lage der Geraden g und h

a)1. g und h kollinear ?

gilt [mm] r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{-2 \\ -2 \\ 4} [/mm] ?

Ja, für r=-2, damit sind g und h parallel

a)2. g und h identisch ?

gilt [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] ?

Nein !, es gibt kein r, dass alle 3 lineare Gleichungen erfüllt. Der Ortsvektor der 2.Gerade liegt nicht auf der ersten Gerade.

[mm] b)g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2} h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3} [/mm]

b)1. g und h parallel ?

gilt [mm] r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{2 \\ 2\\ -3} [/mm] ?

Nein !, für r kommen 2 vesrchiedene Werte heraus: 2 und [mm] \bruch{3}{2} [/mm]

Also auch nicht identisch !

b)3. Gibt es einen Schnittpunkt ?

gilt: [mm] \overrightarrow{S}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3} [/mm] ?

Ja, es gibt ein r=2 und ein s=1, die das LGS erfüllen !

Der Schnittpunkt wird berechnet, indem man r oder s in die jeweilige Geradengleichung einsetzt (am besten in beide, um mögliche falsche Ergebnisse feststellen zu können !)

ich setze r in die 1.Geradengleichung ein:

[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+2\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{3 \\ 2\\ -3} [/mm] und nun s in die 2.Geradengleichung:

[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+1\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3}=\vektor{3 \\ 2\\ -3} [/mm] stimmt, damit gibt es den Schnittpunkt S (3|2|-3)

[mm] c)g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+r\cdot\vektor{-2 \\ -2 \\ 4} h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3} [/mm]

g und h sind nicht parallel (die Richtungsvektoren sind linear nicht abhängig), es gibt auch keinen Schnittpunkt, g und h sind windschief !

[mm] d)g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}+r\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ 3} h:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 6 \\ 6}+s\cdot\vektor{2 \\ -4\\ -6} [/mm]

d)1. g und h parallel ?

ja, es gilt: [mm] r\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{2 \\ -4\\ -6} [/mm] für r=-2

d)2. g und h identisch ?

Nein !, [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}+r\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-1 \\ 6 \\ 6} [/mm] ergibt kein r, das alle lineare Gleichungen erfüllt ! hier hatte ich laut Loddar Unrecht ! es gibt ein r=2, also sind g und h auch identisch ! Danke Schorsch

Schorsch

Bezug
                
Bezug
Lage Gerade-Gerade II: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 So 26.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Schachschorsch!


Die Aufgaben a.) bis c.) hast Du korrekt gelöst.

Bei Aufgabe d.) erhalte ich jedoch "identisch". Setze in Deine letzte Gleichung den Wert $r \ = \ 2$ ein.


Gruß
Loddar


Bezug
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