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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:20 Di 30.12.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe |
Bestimmen Sie jeweils die Geradengleichung der Geraden g durch die Punkte A und B bzw. die Geradengleichung der Geraden h durch die Punkte C und D und untersuchen Sie die Lage der Geraden zueinander !
a) $A [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 6} [/mm] C [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 5} [/mm] D [mm] \vektor{-1 \\ 5 \\ 3}$
[/mm]
b) $A [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{3\\ 1 \\ 3} [/mm] C [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] D [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -2}$
[/mm]
c) $A [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 4} [/mm] C [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2} [/mm] D [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
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a)A [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 6} [/mm] C [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 5} [/mm] D [mm] \vektor{-1 \\ 5 \\ 3}
[/mm]
ich bestimme die Geraden g und h nach folgenden Formeln:
[mm] g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\overrightarrow{OC}+t(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}) [/mm] : dies ergibt:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ -4 \\ 4} [/mm] und
[mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 3 \\ 5}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
a)1. g und h parallel ?
Ja !, denn es gilt [mm] s\vektor{2 \\ -4 \\ 4}=\vektor{-1 \\ 2 \\ -2} [/mm] für [mm] r=-\bruch{1}{2}
[/mm]
a)2. g und h identisch ?
Nein !, da es kein s gibt, das alle lineare Gleichungen von [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ -4 \\ 4} [/mm] erfüllt ! (gilt auch für t in h mit dem Ortsvektor von g)
b)A [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{3\\ 1 \\ 3} [/mm] C [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] D [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
wie in a) ermittle ich zuerst die Geradengleichungen:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{3 \\ 0 \\ 1} [/mm] und
[mm] h:\vec{x}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+t\vektor{-3 \\ 1 \\ -3}
[/mm]
b)1. g und h parallel ?
Nein !, es gibt kein s, das die Gleichung [mm] s\vektor{3 \\ 0 \\ 1}=\vektor{-3 \\ 1 \\ -3} [/mm] erfüllt.
b)3. gibt es einen Schnittpunkt der Geraden g und h ?
ich setze [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{3 \\ 0 \\ 1}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+t\vektor{-3 \\ 1 \\ -3} [/mm] und schreibe es als LGS:
I 0 + 3s = 3 - 3t [mm] \Rightarrow [/mm] s=1-t setze s in II ein:
II 1 + 0(1-t) = 2 + t [mm] \Rightarrow [/mm] t=-1 setze t in III ein:
III 2 + s = 1 + 3 [mm] \Rightarrow [/mm] s=2
setze s und t in die Geradengleichungen ein, um den Schnittpunkt S mit dem Ortsvektor [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] zu berechnen:
[mm] \overrightarrow{OS}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+2\vektor{3 \\ 0 \\ 1}=\vektor{6 \\ 1 \\ 4} [/mm] und die andere Gleichung:
[mm] \overrightarrow{OS}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+t\vektor{-3 \\ 1 \\ -3}=\vektor{6 \\ 1 \\ 4} [/mm] stimmt also, damit gibt es den Schnittpunkt S (6|1|4)
c)A [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 4} [/mm] C [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2} [/mm] D [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
damit heißen die Geraden:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] und
[mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 2 \\ 2}+t\vektor{4 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
c)1) g und h parallel ?
Nein !, da die Richtungsvektoren der Geraden nicht linear abhängig sind !
für [mm] s\vektor{2 \\ 2 \\ 2}=\vektor{4 \\ -2 \\ -1} [/mm] gibt es kein s, das das LGS erfüllt !
c)3. Gibt es einen Schnittpunkt der Geraden g und h ?
ich setze [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ 2 \\ 2}=\vektor{0 \\ 2 \\ 2}+t\vektor{4 \\ -2 \\ -1} [/mm] und schreibe es als LGS:
I 1 + 2s = 4t [mm] \Rightarrow s=2t-\bruch{1}{2}
[/mm]
II 1 + 2s = 2 -2t [mm] \Rightarrow s=\bruch{1}{2}-2t
[/mm]
III 2 + 2s = 2 -t [mm] \Rightarrow s=-\bruch{t}{2}
[/mm]
es gibt keine s und t, die das LGS erfüllen, also gibt es keinen Schnittpunkt, g und h sind damit windschief !
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 So 26.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Diese Aufgabe ist korrekt gelöst.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 So 26.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Auch hier alles korrekt ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 So 26.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Stimmt alles.
Gruß
Loddar
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