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Lage von Gerade und Ebene: Rückfrage,Idee,Tipp,Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Di 10.07.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E definiert durch

g: x: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+t\vektor{2 \\ -1 \\ 2} [/mm]

E: [mm] 4x_{1}-2x_{2}-4x_{3}=11 [/mm]

Zeige das g orthogonal zu E steht!


Hallo,

ich habe eine kurze Verständnisfrage zu der o.g. Aufgabe!

In der Musterlösung steht nun:

"Der Normalvektor n von E und der Richtungsvektor r von g sind parallel, da

n = [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ 4} [/mm] = [mm] r\vektor{2 \\ -1 \\ 2} [/mm] => r = 2"

- Sind orthogonal und parallel nicht zwei verschiedene Sachen, oder meint das hier das Gleiche?

Vielen Dank

        
Bezug
Lage von Gerade und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Di 10.07.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E definiert durch

>

> g: x: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+t\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm]

>

> E: [mm]4x_{1}-2x_{2}-4x_{3}=11[/mm]

>

Kann es sein, dass die Ebenengleichung so heißen soll:

[mm]E:\ 4x_1-2x_2+4x_3=11[/mm]

?

Ich gehe jedenfalls bei meiner Antwort davon aus (denn sonst ergäbe die ganze Aufgabe keinen Sinn).

> Zeige das g orthogonal zu E steht!

>

> Hallo,

>

> ich habe eine kurze Verständnisfrage zu der o.g. Aufgabe!

>

> In der Musterlösung steht nun:

>

> "Der Normalvektor n von E und der Richtungsvektor r von g
> sind parallel, da

>

> n = [mm]\vektor{4 \\ -2 \\ 4}[/mm] = [mm]r\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm] => r =
> 2"

>

> - Sind orthogonal und parallel nicht zwei verschiedene
> Sachen, oder meint das hier das Gleiche?

Nein. Orthogonal heißt rechtwinklig bzw. senkrecht. Ein anderes Wort dafür ist normal. Daher nennt man diejenigen Vektoren, die auf einer Ebene (oder auch einer Geraden) senkrecht stehen, Normalenvektoren.

Nun ist es so, dass der Vektor

[mm]\vec{n}= \vektor{a \\ b \\ c}[/mm]

dessen Komponenten der Ebenengleichung

[mm]E:\ ax_1+bx_2+cx_3=d[/mm]

entstammen, auf der betreffenden Ebene senkrecht steht und daher ein solcher Normalenvektor ist. Daher steht jede Gerade, deren Richtungsvektor ein Vielfaches eines solchen Normalenvektors ist, auf der betreffenden Ebene senkrecht. Und genau das ist hier der Fall.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Lage von Gerade und Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 Di 10.07.2018
Autor: Dom_89

Besten Dank

Bezug
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