Lage zweier Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Logan |
Hallo,
habe folgendes Problem:
Es sind drei Geraden gegeben:
[mm] g_{1}: \vec x= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + k \times \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] g_{2}: \vec x= \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} + l \times \begin{pmatrix} \bruch {1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] g_{3}: \vec x= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + m \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Um die Parallelität der Geraden nun zu bestimmen, überprüfe ich jetzt zum Beispiel, ob der Richtungsvektor von [mm]g_{2}[/mm] ein Vielfaches von [mm]g_{1}[/mm] ist.
Da [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = -6 \times \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] ist, ist [mm] g_{1} || g_{2}[/mm]
Jetzt meine Frage. Wenn ich nun die Parallelität der anderen Geraden überprüfe, so merke ich, dass sie zwar Vielfache von einander sind, jedoch ein anderes Vorzeichen haben.
Beispiel:
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
also [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Sind die beiden Geraden ([mm]g_{2} und g_{3}[/mm]), dennoch parallel, obwohl sie andere Vorzeichen haben, aber dennoch im gewissen Sinne Vielfache von einander sind?
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Hallo Logan,
> Es sind drei Geraden gegeben:
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> [mm]g_{1}: \vec x= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + k \times \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]g_{2}: \vec x= \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} + l \times \begin{pmatrix} \bruch {1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]g_{3}: \vec x= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + m \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> Um die Parallelität der Geraden nun zu bestimmen, überprüfe
> ich jetzt zum Beispiel, ob der Richtungsvektor von [mm]g_{2}[/mm]
> ein Vielfaches von [mm]g_{1}[/mm] ist.
>
> Da [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = -6 \times \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> ist, ist [mm]g_{1} || g_{2}[/mm]
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> Jetzt meine Frage. Wenn ich nun die Parallelität der
> anderen Geraden überprüfe, so merke ich, dass sie zwar
> Vielfache von einander sind, jedoch ein anderes Vorzeichen
> haben.
>
> Beispiel:
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> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
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> also [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> Sind die beiden Geraden ([mm]g_{2} und g_{3}[/mm]), dennoch
> parallel, obwohl sie andere Vorzeichen haben, aber dennoch
> im gewissen Sinne Vielfache von einander sind?
nein:
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \ne 2 \times \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
hier stimmen die Vorzeichen doch nicht!
also: nur [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] sind parallel.
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