Lage zweier Geraden zueinander < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Gerade im [mm] \IR^{3} [/mm] verlaufe vom Ursprung zum Punkt $P$. Eine zweite Gerade sei durch einen Punkt $Q$ und einen Richtungsvektor [mm] \vec{v} [/mm] festgelegt. Untersuchen Sie die Lage der Geraden zueinander, d. h. bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge:
a) P = (1, 1, 1) Q = (9, 1, 3) [mm] \vec{v} [/mm] = (-1, 3, [mm] 2)^{T}
[/mm]
b) P = (3, -1, 5) Q = (3, 1, -4) [mm] \vec{v} [/mm] = (2, -1, [mm] 5)^{T}
[/mm]
Hinweis: Zwei Geraden können gleich sein, parallel sein, windschief sein oder sich in einem Punkt schneiden. |
Hallo, ich bitte wieder mal um eure Hilfe.
[mm] \vec{v} [/mm] = (-1, 3, [mm] 2)^{T} [/mm] ist doch dasselbe wie [mm] \vec{v} [/mm] = (-1 3 2) oder?
[mm] \vec{p} [/mm] = [mm] s\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{q} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 3} [/mm] + t (-1 3 2)
s,t [mm] \in \IR
[/mm]
Um nun einen Schnittpunkt zu finden setze ich [mm] \vec{p} [/mm] = [mm] \vec{q}:
[/mm]
[mm] s\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 3} [/mm] + t (-1 3 2)
[mm] s\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t (1 -3 -2) = [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
[mm] s\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Eine Gerade im [mm]\IR^{3}[/mm] verlaufe vom Ursprung zum Punkt [mm]P[/mm].
> Eine zweite Gerade sei durch einen Punkt [mm]Q[/mm] und einen
> Richtungsvektor [mm]\vec{v}[/mm] festgelegt. Untersuchen Sie die
> Lage der Geraden zueinander, d. h. bestimmen Sie jeweils
> die Schnittmenge:
> a) P = (1, 1, 1) Q = (9, 1, 3) [mm]\vec{v}[/mm] = (-1, 3,
> [mm]2)^{T}[/mm]
> b) P = (3, -1, 5) Q = (3, 1, -4) [mm]\vec{v}[/mm] = (2, -1,
> [mm]5)^{T}[/mm]
>
> Hinweis: Zwei Geraden können gleich sein, parallel sein,
> windschief sein oder sich in einem Punkt schneiden.
> Hallo, ich bitte wieder mal um eure Hilfe.
>
> [mm]\vec{v}[/mm] = (-1, 3, [mm]2)^{T}[/mm] ist doch dasselbe wie [mm]\vec{v}[/mm] =
> (-1 3 2) oder?
Nein.
[mm]\vec{v} = (-1, 3, 2)^{T}=\pmat{-1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\vec{p}[/mm] = [mm]s\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vec{q}[/mm] = [mm]\vektor{9 \\ 1 \\ 3}[/mm]
> + t (-1 3 2)
>
> s,t [mm]\in \IR[/mm]
>
> Um nun einen Schnittpunkt zu finden setze ich [mm]\vec{p}[/mm] =
> [mm]\vec{q}:[/mm]
>
> [mm]s\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{9 \\ 1 \\ 3}[/mm] + t (-1 3 2)
Das ist doch einfach:
[mm]s\vektor{1 \\ 1 \\ 1} = \vektor{9 \\ 1 \\ 3} + t \pmat{-1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
> [mm]s\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + t (1 -3 -2) = [mm]\vektor{9 \\ 1 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]s\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + t [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{9 \\ 1 \\ 3}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
>
> Lg
>
>
Gruss
MathePower
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Aja stimmt, zu blöd -.-...
Dann hab ich 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, für $t$ krieg ich 2 raus und für $s$ = 7.
Also liegt der Schnittpunkt der Geraden bei [mm] \vektor{7 \\ 7 \\ 7}.
[/mm]
Bei Aufgabe b schneiden sich die Geraden nicht, können also nur parallel oder windschief sein. Da die Geraden aber nicht in dieselbe Richtung zeigen [mm] \vec{p} [/mm] != [mm] \vec{v} [/mm] müssen die Geraden windschief zueinander stehen.
Stimmt das?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aja stimmt, zu blöd -.-...
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> Dann hab ich 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, für [mm]t[/mm] krieg
> ich 2 raus und für [mm]s[/mm] = 7.
> Also liegt der Schnittpunkt der Geraden bei [mm]\vektor{7 \\ 7 \\ 7}.[/mm]
>
> Bei Aufgabe b schneiden sich die Geraden nicht, können
> also nur parallel oder windschief sein. Da die Geraden aber
> nicht in dieselbe Richtung zeigen [mm]\vec{p}[/mm] != [mm]\vec{v}[/mm]
> müssen die Geraden windschief zueinander stehen.
>
> Stimmt das?
Ja
FRED
>
> Lg
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