Lagebeziehung Gerade/Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lagebeziehung folgender Geraden:
[mm] h:\overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0}+ [/mm] s* [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ 4}
[/mm]
[mm] k:\overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+ [/mm] t* [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -3} [/mm] |
Hallo,
ich habe nachgewiesen, dass die beiden Geraden weder parallel noch identisch sind. Jetzt stecke ich dabei fest, mein Gleichungssystem zu lösen.
Ich habe folgendes Gleichungssytem:
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0}+ [/mm] s* [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ 4}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+ [/mm] t* [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -3}
[/mm]
I. 2-2s=1+2t
II. -2s=2t
III. -2s=-3t <=> s=1,5t
III. in II.
-2(1.5t)=2t
<=> 3t=2t
<=> t=0
Habe ich damit bewiesen, dass die beiden Geraden windschief zueinander sind? Ich bin etwas verwirrt, da ich die III. Gleichung auch einmal in die I. Gleichung eingesetzt habe und da habe ich [mm] t=\bruch{1}{5} [/mm] rausbekommen...
Was mache ich falsch?
Danke.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Lagebeziehung folgender Geraden:
> [mm]h:\overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0}+[/mm] s* [mm]\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]k:\overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+[/mm] t* [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe nachgewiesen, dass die beiden Geraden weder
> parallel noch identisch sind.
Das ist sehr unglücklich formuliert: wie sollen Geraden, die nicht parallel sind, identisch sein? Sprich: wenn dir klar ist, dass zwei Geraden nicht parallel sind, dann brauchst du dir über die Frage, ob sie identisch sind, keine Gedanken mher zu machen.
> Jetzt stecke ich dabei fest,
> mein Gleichungssystem zu lösen.
Was verstehst du denn unter ein Gleichungssystem lösen?
>
> Ich habe folgendes Gleichungssytem:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+[/mm] s* [mm]\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+[/mm]
> t* [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -3}[/mm]
>
> I. 2-2s=1+2t
> II. -2s=2t
> III. -2s=-3t <=> s=1,5t
>
Zwar müsste es in der 3. Zeile heißen
4s=-3t
Aber das spielt letztendlich keine Rolle mehr:
> III. in II.
>
> -2(1.5t)=2t
> <=> 3t=2t
> <=> t=0
>
> Habe ich damit bewiesen, dass die beiden Geraden windschief
> zueinander sind?
Sie sind windschief, aber du bist mit der Rechnung noch nicht fertig. Du hast bisher s=t=0 aus den Gleichungen II u. III. und musst jetzt noch zeigen, dass sich daraus in Gleichung I. ein Widerspruch ergibt. Auch wenn man es sieht: in Klassenarbeit oder Prüfung solltest du das hinschreiben.
> Ich bin etwas verwirrt, da ich die III.
> Gleichung auch einmal in die I. Gleichung eingesetzt habe
> und da habe ich [mm]t=\bruch{1}{5}[/mm] rausbekommen...
>
> Was mache ich falsch?
Wie du speziell auf den Wert 1/5 kommst, kann ich nicht reproduzieren. Aber generell ist es kein Wunder, dass du hier widersprüchliche Ergebnisse erhältst. Das LGS besitzt eine leere Lösungsmenge, flapsig gesagt: es besitzt keine Lösung. Geometrisch bedeutet dies: die beiden Geraden besitzen keinen gemeinsamen Punkt.
Du solltest dich umgehend mit der Threorie der linearen Gleichungssysteme beschäftigen, denn es scheint dir da so einiges unklar zu sein.
Gruß, Diophant
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Ich habe die III. Gleichung umgestellt:
[mm] s=-\bruch{3}{4}t
[/mm]
III. in II.
[mm] -2(-\bruch{3}{4}t)=2t
[/mm]
<=> t=0
t einsetzen in I.:
2-2s=1
<=> s=0,5
Wo ist hier der Widerspruch bzw. wieso habe ich beim ersten Schritt bewiesen, dass s=t=0 ist? Ich habe doch nur t=0 bewiesen...
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Hallo,
> Ich habe die III. Gleichung umgestellt:
>
> [mm]s=-\bruch{3}{4}t[/mm]
>
> III. in II.
>
> [mm]-2(-\bruch{3}{4}t)=2t[/mm]
> <=> t=0
>
> t einsetzen in I.:
>
> 2-2s=1
> <=> s=0,5
>
> Wo ist hier der Widerspruch bzw. wieso habe ich beim ersten
> Schritt bewiesen, dass s=t=0 ist? Ich habe doch nur t=0
> bewiesen...
Na ja, du stellst hier eindrücklich unter Beweis, was ich oben schon vermutet habe. Du hast eklatante Wissenslücken rund um lineare Gleichungssysteme. Die Lösungen eines solchen LGS müssen Lösungen sämtlicher Gleichungen sein. Wenn du die von dir 'vorgeschlagene' Lösung in Gleichung II oder III einsetzt, was passiert dann?
Gruß, Diophant
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Wenn ich s=0,5 in II. einsetze, so bekomme ich:
-2*0,5=2t
<=> -1=2t
<=> t= -0,5
vorher hatte ich aber t=0 als Lösung erhalten. Das ist dann der Widerspruch oder?
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Hallo,
> Wenn ich s=0,5 in II. einsetze, so bekomme ich:
>
> -2*0,5=2t
> <=> -1=2t
> <=> t= -0,5
>
> vorher hatte ich aber t=0 als Lösung erhalten. Das ist
> dann der Widerspruch oder?
Ja. Und zu deiner vorigen Frage bzgl. der Gleichungen II u. III folgende Aufgabe:
Zwei Bananen kosten an einem Tag gleich viel wie drei Äpfel. An einem anderen Tag kosten drei Bananen gleich viel wie vier Äpfel. Wenn wir annehmen, dass die Preise sich nicht geändert haben, dann folgt doch sofort, dass das ganze nur für den Fall möglich ist, dass es Bananen und Äpfel umsonst gibt. Mit der gleichen Logik rechnet man
III: 4s=-3t [mm] \gdw s=-\bruch{3}{4}t
[/mm]
III in II:
[mm] -2*\left(-\bruch{3}{4}t\right)=2t \Rightarrow [/mm] t=0 [mm] \Rightarrow [/mm] s=0
Einsetzen in I ergibt den Widerspruch.
Bei solchen Gleichungssystemen, wie man sie bei der Lageuntersuchung von Geraden erhält, hat man ja prinzipiell eine Gleichung mehr als Unbekannte. Es empfiehlt sich, zunächst für zwei der drei Gleichungen eine Lösungsmenge zu bestimmen und dann ggf. durch Einsetzen in die dritte Gleichung zu prüfen, ob das LGS eine Lösung hat oder nicht. Alles andere führt zu einem solchen Kuddelmuddel, wie es dir auch passiert ist.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 So 01.06.2014 | | Autor: | leasarfati |
Alles klar. Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.
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Muss ich bei solchen Gleichungssystemen hinsichtlich der Lagebeziehung zwischen zwei Geraden eigentlich immer stutzig werden, wenn für eine Variable 0 rauskommt oder muss das noch gar nichts bedeuten?
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Hallo,
> Muss ich bei solchen Gleichungssystemen hinsichtlich der
> Lagebeziehung zwischen zwei Geraden eigentlich immer
> stutzig werden, wenn für eine Variable 0 rauskommt oder
> muss das noch gar nichts bedeuten?
Das bedeutet hinsichtlich der Lage noch nichts. Wenn dann allerdings der Fall eintritt, dass das LGS eine eindeutige Lösung und die Geraden somit einen Schnittpunkt haben, dann würde ich eine solche Lösung nicht unbeachtet lassen: sie bedeutet dann nämlich nichts anderes, als dass der betreffende Stützvektor derjenigen Geraden, von deren Gleichung der Parameter kommt, gleichzeitig schon der gesuchte Schnittpunkt ist.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 So 01.06.2014 | | Autor: | leasarfati |
Okay, vielen Dank!
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