Lagrange-Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fecit |
| Aufgabe | Bestimme die Extremwerte der Funktion unter der Nebenbedingung?
[mm] x+y^2=min [/mm]
NB: [mm] 2*x^2+y^2=1 [/mm] |
f: [mm] x+y^2
[/mm]
[mm] g:2x^2+y^2-1
[/mm]
?) Ist mein Rechenvorgang richtig?
--> Mein Lösungsansatz
//Stelle die Lagrange-Funktion auf
[mm] L(x,y,\lambda)=x+y^2+\lambda*(2x^2+y^2-1)
[/mm]
//Leite partiell nach x,y und [mm] \lambda [/mm] ab
I) [mm] \bruch{\partial L}{\partial x}=1+4\lambda*x
[/mm]
II) [mm] \bruch{\partial L}{\partial y}=2y+2\lambda*y
[/mm]
III) [mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda}=2x^2+y^2-1
[/mm]
//Setze die partiellen Ableitungen "= 0"
I=0... [mm] x=\bruch{1}{-4\lambda}
[/mm]
II=0 ... [mm] y*(2+2\lambda)=0 [/mm]
(1.) [mm] y\not=0 \Rightarrow \lambda=-1
[/mm]
(2.) y=0
//Setze in III ein
(1.)
[mm] 2*\bruch{1}{4}^2+0-1=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{8}-1\not=0 [/mm]
(2.)
[mm] 2*-\bruch{1}{4\lambda}-1=0
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm\wurzel{\bruch{1}{8}}
[/mm]
//Setze [mm] \lambda [/mm] ein. Das sind die Extrema ?
[mm] \vektor{-\bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{1}{8}}} \\ 0 \\ \wurzel{\bruch{1}{8}}}
[/mm]
[mm] \vektor{\bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{1}{8}}} \\ 0 \\ -\wurzel{\bruch{1}{8}}}
[/mm]
//Überprüfe Werte auf Min,Max ... berechne dazu Hesse-Matrix und untersuch die Definitheit
[mm] D_{L} [/mm] = [mm] \pmat{ 1+4\lambda x \\ 2y+2\lambda x }
[/mm]
[mm] D^2_{L}=\pmat{ 4 \lambda & 0 \\ 0 & 2+2* \lambda }
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{8}}
[/mm]
[mm] D^2_{L}=\pmat{ 4 \wurzel{\bruch{1}{8}} & 0 \\ 0 & 2+2* \wurzel{\bruch{1}{8}} } [/mm] --> positiv definit d.h minimum
anderer Wert [mm] (\lambda =-\wurzel{\bruch{1}{8}}) [/mm] --> indefinit d.h Sattelpunkt!
Das Extremum lautet [mm] \vektor{-\bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{1}{8}}} \\ 0 \\ \wurzel{\bruch{1}{8}}}
[/mm]
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> Bestimme die Extremwerte der Funktion unter der
> Nebenbedingung?
> [mm]x+y^2=min[/mm]
> NB: [mm]2*x^2+y^2=1[/mm]
> f: [mm]x+y^2[/mm]
> [mm]g:2x^2+y^2-1[/mm]
>
> ?) Ist mein Rechenvorgang richtig?
>
> --> Mein Lösungsansatz
>
> //Stelle die Lagrange-Funktion auf
>
> [mm]L(x,y,\lambda)=x+y^2+\lambda*(2x^2+y^2-1)[/mm]
>
> //Leite partiell nach x,y und [mm]\lambda[/mm] ab
>
> I) [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}=1+4\lambda*x[/mm]
> II)
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}=2y+2\lambda*y[/mm]
> III)
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda}=2x^2+y^2-1[/mm]
>
> //Setze die partiellen Ableitungen "= 0"
Hallo,
bis hierher ist's richtig.
>
> I=0... [mm]x=\bruch{1}{-4\lambda}[/mm]
(Darüber nachgedacht, daß der Fall [mm] \lambda=0 [/mm] nicht vorkommen kann, hast Du?)
> II=0 ... [mm]y*(2+2\lambda)=0[/mm]
> (1.) [mm]y\not=0 \Rightarrow \lambda=-1[/mm]
> (2.) y=0
Achtung! Das ist zu sparsam aufgeschrieben, und deshalb verlierst Du Lösungen.
Aus [mm] y*(2+2\lambda)=0 [/mm] folgt nämlich y=0 oder [mm] \lambda=-1.
[/mm]
Das hat zur Folge, daß Du zwei Fälle untersuchen mußt:
A. y=0. Dann ist [mm] 0=2x^2+0^2-1 [/mm] ==> ...
B. [mm] \lambda=-1, [/mm] also ist [mm] x=\bruch{1}{4} [/mm] und man hat [mm] 0=2*(\bruch{1}{4})^2+y^2-1
[/mm]
Gruß v. Angela
> //Setze in III ein
>
> (1.)
> [mm]2*\bruch{1}{4}^2+0-1=0[/mm]
> [mm]\bruch{1}{8}-1\not=0[/mm]
>
> (2.)
> [mm]2*-\bruch{1}{4\lambda}-1=0[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\pm\wurzel{\bruch{1}{8}}[/mm]
>
> //Setze [mm]\lambda[/mm] ein. Das sind die Extrema ?
>
> [mm]\vektor{-\bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{1}{8}}} \\ 0 \\ \wurzel{\bruch{1}{8}}}[/mm]
>
> [mm]\vektor{\bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{1}{8}}} \\ 0 \\ -\wurzel{\bruch{1}{8}}}[/mm]
>
> //Überprüfe Werte auf Min,Max ... berechne dazu
> Hesse-Matrix und untersuch die Definitheit
>
> [mm]D_{L}[/mm] = [mm]\pmat{ 1+4\lambda x \\ 2y+2\lambda x }[/mm]
>
> [mm]D^2_{L}=\pmat{ 4 \lambda & 0 \\ 0 & 2+2* \lambda }[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{8}}[/mm]
>
> [mm]D^2_{L}=\pmat{ 4 \wurzel{\bruch{1}{8}} & 0 \\ 0 & 2+2* \wurzel{\bruch{1}{8}} }[/mm]
> --> positiv definit d.h minimum
>
> anderer Wert [mm](\lambda =-\wurzel{\bruch{1}{8}})[/mm] -->
> indefinit d.h Sattelpunkt!
>
> Das Extremum lautet
> [mm]\vektor{-\bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{1}{8}}} \\ 0 \\ \wurzel{\bruch{1}{8}}}[/mm]
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:57 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fecit |
[mm] y*(2+2\lamda)=0
[/mm]
Fall 1: y=0 [mm] \\wie [/mm] oben!
Fall2: [mm] y*(2+2\lamda)=0
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = -1
//Setze in die NB ein
[mm] 2*(\bruch{1}{4})^2+y^2-1=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{8}+y^2-1=0
[/mm]
[mm] y^2=\bruch{7}{8}
[/mm]
[mm] y=\pm\wurzel{\bruch{7}{8}}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ \lambda} [/mm] ; [mm] \vektor{0.25 \\ \wurzel{\bruch{7}{8}}
\\ -1} [/mm] ; [mm] \vektor{0.25 \\ -\wurzel{\bruch{7}{8}}
\\ -1}
[/mm]
// [mm] \lambda=-1 [/mm] in die Hesse_Matrix einsetzen
$ [mm] D^2_{L}=\pmat{ 4 \lambda & 0 \\ 0 & 2+2\cdot{} \lambda } [/mm] $
[mm] \pmat{ -4 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] --> negativ semidefinit --> 2 Maxima für Fall 2
?) Extrema für Fall 2!
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> [mm]y*(2+2\lambda)=0[/mm]
>
> Fall 1: y=0 [mm]\\wie[/mm] oben!
Hallo,
nein, nicht wie oben.
Was bekommst Du denn, wenn Du y=0 in die dritte Gleichung einsetzt?
>
> Fall2: [mm]y*(2+2\lambda)=0[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] = -1
>
> //Setze in die NB ein
>
> [mm]2*(\bruch{1}{4})^2+y^2-1=0[/mm]
> [mm]\bruch{1}{8}+y^2-1=0[/mm]
> [mm]y^2=\bruch{7}{8}[/mm]
> [mm]y=\pm\wurzel{\bruch{7}{8}}[/mm]
Genau.
Du weißt nun, daß an den Stellen [mm] (\bruch{1}{4}, \pm\wurzel{\bruch{7}{8}}) [/mm] Extrema der Funktion [mm] f(x,y)=x+y^2 [/mm] unter der vorgegebenen Nebenbedingung vorliegen können.
Dazu kommen noch die Punkte von oben, die Du bisher noch nicht errechnet hast.
Ich würde jetzt die Funktionswerte an diesen Stellen ausrechnen und mich entscheiden, wo Min und Max sind.
(Daß sie existieren, ist klar, denn wir betrachten die stetige Funktion füber einer Ellipse (Nebenbedingung), also über einer kompakten Teilmenge des [mm] \IR^2.
[/mm]
Ich würde hier bei Lagrange gar nichts mit der Hessematrix machen(, und wenn doch, dann mit der geränderten).
Aber ich halte mich aus Deinem weiteren Tun mit der Hessematrix lieber heraus - möglicherweise verwendest Du Dinge, die ich nicht abrufbereit habe.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ \lambda}[/mm] ; [mm]\vektor{0.25 \\ \wurzel{\bruch{7}{8}}
\\ -1}[/mm]
> ; [mm]\vektor{0.25 \\ -\wurzel{\bruch{7}{8}}
\\ -1}[/mm]
>
> // [mm]\lambda=-1[/mm] in die Hesse_Matrix einsetzen
> [mm]D^2_{L}=\pmat{ 4 \lambda & 0 \\ 0 & 2+2\cdot{} \lambda }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -4 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] --> negativ semidefinit --> 2
> Maxima für Fall 2
>
> ?) Extrema für Fall 2!
>
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 10.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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