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Hallo!
Ich möchte den oberen Massenpunkt (x,y) eines Doppelpendels in seinen Bewegungen mit Differentialgleichungen beschreiben. Die Aufhängung ist bei (0,0), die Länge des oberen Fadens ist l. Dabei möchte ich mit dem Lagrange-Formalismus arbeiten. Um diesen anzuwenden, muss man ja eigentlich erst generalisierte Koordinaten einführen, welche dann die Zwangsbedingungen schon implizieren.
Hier ist die Zwangsbedingung ja: [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = [mm] l^{2}
[/mm]
Eine Möglichkeit wäre die mit Polarkoordinaten, d.h., fester Länge l und Winkel [mm] \phi. [/mm] Ich möchte allerdings gleich in kartesischen Koordinaten bleiben, d.h. zum Beispiel eine generalisierte Koordinate
x = [mm] q_{1}
[/mm]
einführen und dann entsprechend
y = [mm] \sqrt{l^{2}-q_{1}^{2}}
[/mm]
setzen. Das darf ich aber nicht, weil es dan ja nur positive y gäbe. Was kann ich tun? Was für generalisierte Koordinaten muss ich einführen?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Di 28.10.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du kannst die Wurzel als [mm] $\pm\sqrt{\dots}$ [/mm] schreiben. Das wird dir allerdings auch nicht sonderlich viel weiterhelfen.
Warum willst du es denn nicht in Polarkoordinaten schreiben? Das wäre doch in deinem Fall wohl das "natürlichste", was man machen kann. Schreib die Lagrange-Fkt. doch in Polarkoord., lös dann die DGL, und switch dann wieder in Karthesischen Koordinaten um.
LG
Kroni
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Hallo!
Das Problem ist, dass ich das eigentlich im dreidimensionalen machen will. Für Polarkoordinaten wären dann aber zwei Winkel vonnöten, und dann entstehen unschöne Singularitäten (Die Umwandlung Polar --> Kartesisch ist nicht mehr bijektiv).
Z.B. lautet die Formel für x:
x = [mm] l*sin(\alpha)*cos(\beta)
[/mm]
oder so ähnlich. Wenn ich jetzt [mm] \alpha [/mm] = 0 wähle, kann ich b beliebig wählen --> DIe Zuordnung ist nicht mehr eindeutig.
Deswegen suche ich eine solche Möglichkeit. Es müssen ja nicht unbedingt kartesische Koordinaten sein, aber irgendwas bijektives eben.
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 28.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich verstehe dein Problem nicht. Dein [mm] \beta [/mm] wird dann eben durch y und z bestimmt. und ist nicht frei waehlbar.
Die Koordinaten der Erde Laengen und Breitengrad geben doch eindeutig die Lage im Raum wieder? wenn du auf dem Laengengrad 0 bist musst du doch noch immer den Breitengrad angeben um deine Koordinaten zu bestimmen?
Gruss leduart
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Hallo!
Danke für deine Antwort.
Ich präzisiere noch einmal, warum ich für die Beschreibung im dreidimensionalen Raum keine Kugelkoordinaten verwenden möchte:
1. Mir ist klar, dass ich mit jeder Wahl von den zwei Winkeln und der Länge auf die Koordinaten x,y,z eindeutig komme
2. Allerdings ist die Umkehrung nicht eindeutig: Wenn ich eine Koordinate habe, welche auf einer Koordinatenachse x,y oder z liegt, dann reicht es praktisch einen Winkel so zuwählen dass sin(Winkel) bzw. cos(Winkel) Null wird und dann kann ich den anderen in der Kugelkoordinatendarstellung frei wählen. Diese Zuordnung wäre nicht eindeutig.
Und nun geht es darum, 2. zu vermeiden. Es könnte nämlich dann bei den DGLs passieren, dass diese für gewisse Winkel etc. nicht definiert sind. Deswegen muss ich wahrscheinlich andere generalisierte Koordinaten finden.
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mi 29.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
leider kann ich mit deiner Darstellung noch immer nichts anfangen.
entweder gibst du x,y,z kartesisch vor und kannst daraus [mm] r,=\theta, \phi [/mm] bestimmen oder umgekehrt.
wenn du nur x=0 vorgibst weisst du natuerlich noch nichts ueber y und z , wenn du nur [mm] \phi [/mm] vorgibst kennst du noch nicht [mm] \r [/mm] und [mm] \theta.
[/mm]
Ob Kugelkoordinaten fuer dein problem am guenstigsten sind oder Zylinderkoordinaten kann ich ohne es durchzurechnen nicht sehen.
Ich wuerda einfach mal in allen 3 hinschreiben und dann sehen, was das einfachste ist.
Ist das Problem wirklich 3d gemeint, ich kann das der Aufgabe nicht entnehmen.
Gruss leduart
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Hallo!
Danke für deine Antwort. Dann fange ich mal mit Kugelkoordinaten an 
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Mi 29.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Hallo!
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> Ich möchte den oberen Massenpunkt (x,y) eines Doppelpendels
> in seinen Bewegungen mit Differentialgleichungen
> beschreiben. Die Aufhängung ist bei (0,0), die Länge des
> oberen Fadens ist l. Dabei möchte ich mit dem
> Lagrange-Formalismus arbeiten. Um diesen anzuwenden, muss
> man ja eigentlich erst generalisierte Koordinaten
> einführen, welche dann die Zwangsbedingungen schon
> implizieren.
> Hier ist die Zwangsbedingung ja: [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = [mm]l^{2}[/mm]
> Eine Möglichkeit wäre die mit Polarkoordinaten, d.h.,
> fester Länge l und Winkel [mm]\phi.[/mm] Ich möchte allerdings
> gleich in kartesischen Koordinaten bleiben, d.h. zum
> Beispiel eine generalisierte Koordinate
>
> x = [mm]q_{1}[/mm]
>
> einführen und dann entsprechend
>
> y = [mm]\sqrt{l^{2}-q_{1}^{2}}[/mm]
>
> setzen. Das darf ich aber nicht, weil es dan ja nur
> positive y gäbe.
Diese Koordinaten sind aber auch nicht bijektiv abbildbar, denn für [mm] $q_1=\pm [/mm] l$ ist beide Male $y=0$.
Du hast tatsächlich das Problem, dass Kugelkoordinaten keine globale Beschreibung erlauben; du musst zum Beispiel die positive z-Achse ausnehmen, damit sie bijektiv sind. Das ist nicht so schlimm, wie du denkst: 1. hat es praktisch wenig Auswirkungen, du musst nur aufpassen, was für [mm] $\theta=\pi$ [/mm] passiert. 2. lehrt uns die Differentialgeometrie, wie man das auch prinzipiell in den Griff bekommen kann: durch Wahl mehrerer unterschiedlicher Parametrisierungen, die zusammen den gesamten Raum abdecken.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo und danke für deine Antwort!
Kannst du mir das mit den Parametrisierungen etwas genauer erläutern bzw. was für welche müsste ich denn wählen, um den gesamten Raum abzudecken?
Wenn ich nur die positive z-Achse ausschließe, entstehen dann nicht trotzdem bei den Kugelkoordinaten an den anderen Achsen noch Singularitäten?
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mi 29.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Kannst du mir das mit den Parametrisierungen etwas genauer
> erläutern bzw. was für welche müsste ich denn wählen, um
> den gesamten Raum abzudecken?
Es reichen zwei Parametrisierungen: die übliche Definition der Kugelkoordinaten und eine zweite, die durch [mm] $\theta \to\pi-\theta$ [/mm] aus der ersten entsteht. Daher ist bei der zweiten die negative z-Achse herausgenommen. Für alle Punkte, die nicht auf der z-Achse liegen, gelten beide Parametrisierungen und gehen durch [mm] $\theta \to\pi-\theta$ [/mm] ineinander über.
> Wenn ich nur die positive z-Achse ausschließe, entstehen
> dann nicht trotzdem bei den Kugelkoordinaten an den anderen
> Achsen noch Singularitäten?
Was meinst du damit? Singularitäten haben wir erst einmal gar keine. Ich vermute, du willst darauf hinaus, dass die Jacobideterminante [mm] $r^2\cos\phi$ [/mm] entlang der z-Achse 0 ist. Dort ist die Umkehrabbildung nicht differenzierbar.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Also mache ich prinzipiell erst einmal nichts falsch, wenn ich die Kugelkoordinaten als generalisierte K. nehme und die mit Lagrange verwurschtl?
Gäbe es denn trotzdem noch eine Möglichkeit, irgendwie von den Kugelkoordinaten wegzubleiben und nur die kartesischen oder zumindest ähnliche zu benutzen? Weil die generalisierten K. müssen ja die Zwangsbedingungen schon implizieren. Und das geht ja nicht so gut wenn ich sage
x = p
y = q
z = [mm] \sqrt{l^{2}-p^{2}-q^{2}}
[/mm]
weil dann z ja nur positiv sein kann... Oder geht das trotzdem, wenn ich wieder so "teilweise" parametrisiere?
Ich hoffe, man versteht meine Fragen
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mi 29.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Also mache ich prinzipiell erst einmal nichts falsch, wenn
> ich die Kugelkoordinaten als generalisierte K. nehme und
> die mit Lagrange verwurschtl?
Nein, da machst du nichts falsch.
> Gäbe es denn trotzdem noch eine Möglichkeit, irgendwie von
> den Kugelkoordinaten wegzubleiben und nur die kartesischen
> oder zumindest ähnliche zu benutzen? Weil die
> generalisierten K. müssen ja die Zwangsbedingungen schon
> implizieren. Und das geht ja nicht so gut wenn ich sage
>
> x = p
> y = q
> z = [mm]\sqrt{l^{2}-p^{2}-q^{2}}[/mm]
>
> weil dann z ja nur positiv sein kann... Oder geht das
> trotzdem, wenn ich wieder so "teilweise" parametrisiere?
Das geht auch wieder, zum Beispiel, indem du die beiden möglichen Vorzeichen von z getrennt behandelst. Allerdings ist dabei der "Überlapp" der beiden unterschiedlichen Parametrisierungen nur die Ebene z=0.
Die Zwangsbedingung ist ja [mm] $x^2+y^2+z^2=l^2$, [/mm] das heißt alle kartesischen Koordinaten kommen quadratisch vor, damit spielt das Vorzeichen der Koordinaten für die Zwangsbedingung keine Rolle. Daher sehe ich auch keine Möglichkeit, eine global gültige Koordinatentransformation zu finden, die die Zwangsbedingung enthält.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Vielen, vielen Dank für deine Antworten, du hast mir sehr weitergeholfen!
Sitze schon gerade an der Lagrange-Funktion mit den Kugelkoordinaten - 5 Zeilen :-(
Viele Grüße,
Stefan
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