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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:24 Di 30.03.2010 | | Autor: | Bzzz |
| Aufgabe | Verifizieren Sie als Übung schließlich noch die folgenden wichtigen Beziehungen:
[...]
[mm] (a\times b)\*(c\times d)\equiv (a\* c)(b\*d) [/mm] - [mm] (a\*d)(b\*c)
[/mm]
[...] |
Hi ;)
Beim Versuch, die Lagrange-Identität mittels Levi-Civita [mm] (\varepsilon_{ijk}) [/mm] zu beweisen, bin ich an nem Punkt angekommen, wo ich gern eine mathematische Begründung für imho mehr oder minder willkürliches Verhalten beim Zusammenbau hätte. Mir fällt aber keine anständige ein ;)
Im ersten Versuch hab ich nur die Klammern mit den beiden Vektorprodukten ausgeführt, und dabei praktischerweise jeweils über i summiert (also mit Summenkonvention, ohne, dass ichs jedes Mal erwähne). Übrig bleiben dann Kronecker-Deltas (KD), die zwar sämtliche anderen Indizes aus [mm] (\varepsilon_{ijk}) [/mm] bzw. [mm] (\varepsilon_{ilm}) [/mm] tragen, aber eben kein i, also auch keinen Index erzwingen und damit die Summation über eine bestimmen Vektorkomponente vorgeben. Also ganz anders, als es bei der Graßmann-Identität so schön läuft. Durch die Trennung der beiden einzelnen Vektorprodukte muss ich auch mein [mm] \varepsilon [/mm] nicht irgendwie durchpermutieren, was auch das Fehlen von KDs mit dem i-Index erklärt.
Übrig bleibt dann so etwas wie [mm] (\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})a_{j}b_{k}c_{l}d_{m}
[/mm]
Das kann ich auseinanderfriemeln, drehen und wenden, aber letztendlich geben die KDs immer Pärchen von Indizes vor, die gleich sein müssen, da sonst jeweils über 0 summiert wird.
[mm] =\delta_{jl}\delta_{km}a_{j}b_{k}c_{l}d_{m}-\delta_{jm}\delta_{kl}a_{j}b_{k}c_{l}d_{m}
[/mm]
So wies mir scheint, bedingt ein Kronecker-Delta (beim Auflösen) ein Skalarprodukt...(Das [mm] \* [/mm] soll übrigens der Skalar-Boppel sein, keine Faltung...der klickbare * sieht leider auch nicht besser als der [mm] \* [/mm] aus, obwohl die Grafik anderes verheißt...)
[mm] =(a_{n}\*c_{n})(b_{n}\*d_{n})-(a_{n}\*d_{n})(b_{n}\*c_{n})
[/mm]
So, das sieht so aus wie gewünscht, aber eben nur unter der Annahme, dass das Indexpärchen aus dem KD ein Skalarprodukt aufmacht. Ist kein passendes KD vorhanden, ists eine sonstwie geartete Multiplikation. Gilt die Annahme nicht, kommt ein kommutativ sortierbares [mm] a\*b\*c\*d-a\*b\*c\*d [/mm] raus, das sich komplett weghebt. Hmm.
So, zweiter Weg: Ich bau die Grundformel erstmal um und nutz die Graßmann-Identität und die Eigenschaften des Spatprodukts. Da kann ich also z.B. [mm] (a\times [/mm] b) mit e substituieren, dann [mm] e\*(c\times d)=(e\times c)\*d [/mm] umstellen, und rücksubstituieren zu [mm] ((a\times b)\times c)\*d, [/mm] und mich dann per [mm] \varepsilon_{ijk} [/mm] Stück für Stück vorarbeiten.
Nachdem ich dann auch zumindest ein [mm] \varepsilon [/mm] permutieren muss, um über den gleichen Index zu summieren, hab ich auch KDs mit dem Summationsindex, also auch Vektorkomponenten [mm] b_{i} [/mm] und [mm] a_{i}, [/mm] über die summiert wird. Das lautet dann in etwa
[mm] (b_{i}\delta_{kl}a_{l}c_{k}-a_{i}\delta_{km}b_{m}c_{k})\*d
[/mm]
= [mm] (b_{i}(a_{n}\*c_{n})-a_{i}(b_{n}\*c_{n}))\*d
[/mm]
= [mm] (b_{i}(a_{n}\*c_{n}))\*d-(a_{i}(b_{n}\*c_{n}))\*d
[/mm]
=? [mm] b_{i}\*d(a_{n}\*c_{n})-a_{i}\*d(b_{n}\*c_{n})
[/mm]
=? [mm] (b\*d)(a\*c) [/mm] - [mm] (a\*d)(b\*c)
[/mm]
= [mm] (a\* c)(b\*d) [/mm] - [mm] (a\*d)(b\*c) [/mm] (Angabe)
Hier hakts dann beim Übergang von der ausgeklammerten Form zur Überführung in die Angabe, und die Annahme mit dem "KD bedingt Skalarprodukt" hab ich erneut. Irgendwie verhält sichs merkwürdig und ist nur mit ner Prise [mm] \add{*MAGIC*} [/mm] (<-- warum geht hier * in richtiger Form, und in der Aufgabenstellung nicht?!) in die gewünsche Form zu bringen. Das muss mathematisch doch auch sauber gehen...
Tja - wenns jemand weiß, nur her damit ;)
Ich hoff einfach mal, dass meine Wissenslücke nicht allzu blamabel ist ;D
Dankeschön schonmal!
Fürs Protokoll:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Verifizieren Sie als Übung schließlich noch die folgenden
> wichtigen Beziehungen:
> [...]
> [mm](a\times b)\*(c\times d)\equiv (a\* c)(b\*d)[/mm] -
> [mm](a\*d)(b\*c)[/mm]
> [...]
> Hi ;)
> Beim Versuch, die Lagrange-Identität mittels Levi-Civita
> [mm](\varepsilon_{ijk})[/mm] zu beweisen,
Hallo,
ich würde den Beweis komplett ohne Indexgewurschtel führen.
Deinen Ausführungen entnehme ich, daß Dir die Grassmann-Identität $a × (b × c)= (a*c) b− (a*b) c$ zur Verfügung steht,
und das Spatprodukt [mm] $(a\times [/mm] b)*c =det(a, b, c)$ dürfte auch bekannt sein.
Du kannst so beginnen:
[mm] (a\* c)(b\*d)- (a\*d)(b\*c)
[/mm]
= [mm] (a\* c)(b\*d)-(b\*c) (a\*d)
[/mm]
= [mm] [(a\* c)b-(b\*c) a]\*d
[/mm]
= Grassmann *d
und dann mit dem Spatprodukt weiter.
Gruß v. Angela
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