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Forum "Interpolation und Approximation" - Lagrange-Interpolation
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Lagrange-Interpolation: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Mo 17.04.2006
Autor: Bastiane

Aufgabe
Zeigen Sie für die Lagrange-Polynome [mm] L_i(x)=\produkt_{k=0; k\not=i}\bruch{x-x_k}{x_i-x_k} [/mm] die Identität [mm] L_i(x)=\bruch{w(x)}{(x-x_i)w'(x_i)} [/mm] mit [mm] w(x)=\produkt_{i=0}^n(x-x_i). [/mm]

Hallo zusammen und FROHE OSTERN!

Anscheinend habe ich ein Verständnisproblem mit obiger Aufgabe, denn ich wollte es mal mit Induktion versuchen, da funktioniert aber schon der Indukionsanfang nicht!? [haee]

Ich nehme doch mal an, dass das erste Produkt auch bis n läuft, oder? Dann hätte ich für n=0 dort stehen:

[mm] L_i(x)=\bruch{x-x_0}{x_i-x_0} [/mm]

und im anderen Fall:

[mm] L_i(x)=\bruch{x-x_0}{(x-x_i)(-1)} [/mm]

und das ist doch irgendwie nicht das Gleiche. [kopfkratz]

Kann mir vielleicht jemand sagen, wie das denn zu verstehen ist, und vielleicht auch, ob Induktion hier überhaupt hilft!?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
Bezug
Lagrange-Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Mo 17.04.2006
Autor: kretschmer

Hallo Bastiana,

frohe Ostern Dir!

Wenn $n=0$, dann hast Du nur [mm] $L_0$. [/mm] Das bedeutet insbesondere, dass in der Formel, dann paar dinge wegfallen ... Insbesondere [mm] $L_0(x)=1$ [/mm] und das in beiden Fällen, da ja immer $i=0$ automatisch.

Ich denke, das geht per Induktion ganz gut. Ich würde es weiter so versuchen...

--
Gruß
Matthias
Bezug
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