Lagrange-Multiplikation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Timmi |
| Aufgabe | Ein Unternehmen verfügt über ein Kapital von 4 Mio. und unterhält damit 2 voneinander unabhängige Fertigungsbetriebe, für die der Gewinn jeweils eine Funktoin des eingesetzten Kapitals ist.Mit [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] als den eingesetzten Kapitalmengen in den Beiden Betrieben betragen die Gewinne
[mm] G_1(x_1)=120*\wurzel(x_1) [/mm] und [mm] G_2(x_2)=160*\wurzel(x_2)
[/mm]
Wie ist das Gesamtkapital auf die Beiden Betriebe aufzuteilen, damit der Unternehmensgewinn maximal wird.
Bearbeiten sie das Problem mit der Lagrange-Multiplikatoin. |
Hallo!
Also mit der Aufgabe bin ich überfordert!
Währe sehr dankbar für eine step by step Lösung!
Gruß Tim
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Ein Unternehmen verfügt über ein Kapital von 4 Mio. und
> unterhält damit 2 voneinander unabhängige
> Fertigungsbetriebe, für die der Gewinn jeweils eine
> Funktoin des eingesetzten Kapitals ist.Mit [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] als
> den eingesetzten Kapitalmengen in den Beiden Betrieben
> betragen die Gewinne
>
> [mm]G_1(x_1)=120*\wurzel(x_1)[/mm] und [mm]G_2(x_2)=160*\wurzel(x_2)[/mm]
>
> Wie ist das Gesamtkapital auf die Beiden Betriebe
> aufzuteilen, damit der Unternehmensgewinn maximal wird.
> Bearbeiten sie das Problem mit der
> Lagrange-Multiplikatoin.
> Hallo!
>
> Also mit der Aufgabe bin ich überfordert!
> Währe sehr dankbar für eine step by step Lösung!
Welche Funktion willst Du maximieren?
Was ist die Nebenbedingung?
Das brauchst Du als erstes, dann schauen wir weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Timmi |
Hallo, danke, dass Du Dich mir annimst!
Mehr infos gibt Die aufgabe nicht her!
ich denke der Gweinn sol maximiert werden. dh.doch erste ableitung bilen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo, danke, dass Du Dich mir annimst!
> Mehr infos gibt Die aufgabe nicht her!
Das steht ja alles in der Aufgabe
> ich denke der Gweinn sol maximiert werden. dh.doch erste
> ableitung bilen oder?
Was ist "der Gewinn"? Wovon hängt er ab, und was sind die Nebenbedingungen?
[mm] $G(x_1,x_2)=G_1(x_1)+G_2(x_2)$
[/mm]
Dies ist zu maximieren.
Wenn Du jetzt davon den Gradienten bildest, stellst Du fest, daß Du am meisten Gewinn machst, wenn Du unendlich viel Kapital einsetzt, weswegen wir die Nebenbedingung [mm] $x_1+x_2=4\,000\,000$ [/mm] brauchen. Und damit kommen die Lagrange-Multiplikatoren (nur einer in diesem Fall, weil wir nur eine NB haben) ins Spiel.
Nachdem die Nebenbedingungen dafür irgendwas in der Form [mm] $H(x_1,x_2)=0$ [/mm] sein müssen, schreiben wir also um (K=4000000, ist kürzer):
[mm] $H(x_1,x_2)=x_1+x_2-K [/mm] =0$
Damit erhältst Du:
[mm] $F(x_1,x_2,\lambda)=G(x_1,x_2)+\lambda*H(x_1,x_2)$
[/mm]
Davon bildest Du nun den Gradienten.
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