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Lagrange-Multiplikator: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 12.08.2018
Autor: Takota

Hallo,

es geht um diesen Beweis:

Link:
https://www.yumpu.com/de/document/view/12117595/lagrange-multiplikatoren-satz-seien-g-rn-offen-f-c-1gr-g-

Seite 2, ganz unten, wo steht: " ...und die beiden letzten Gleichungen bedeuten:

[mm] $f'(x^0) [/mm] + [mm] \lambda^T g'(x^0) [/mm] = 0$"

Meine Argumentation, warum man aus den beiden Gleichungen auf die Gleichung [mm] $f'(x^0) [/mm] + [mm] \lambda^T g'(x^0) [/mm] = 0$ schließen kann ist folgende:

Da [mm] $x^0 [/mm] = [mm] (u^0,t^0) [/mm] ist und ich das in die Argumente von f und g einsetzte, dann kann man ja nicht mehr nach u oder t partiell ableiten.
Dann bleit als einzige Möglichkeit nur noch, das f und g nach [mm] x^0 [/mm] abgeleitet werden kann.

Gebt mir doch bitte an, wie ihr den Schluß interpretieren würdet?

LG
Takota

        
Bezug
Lagrange-Multiplikator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 Di 14.08.2018
Autor: meili

Hallo Takota,

> Hallo,
>  
> es geht um diesen Beweis:
>  
> Link:
>  
> https://www.yumpu.com/de/document/view/12117595/lagrange-multiplikatoren-satz-seien-g-rn-offen-f-c-1gr-g-
>
> Seite 2, ganz unten, wo steht: " ...und die beiden letzten
> Gleichungen bedeuten:
>  
> [mm]f'(x^0) + \lambda^T g'(x^0) = 0[/mm]"
>  
> Meine Argumentation, warum man aus den beiden Gleichungen
> auf die Gleichung [mm]f'(x^0) + \lambda^T g'(x^0) = 0[/mm]
> schließen kann ist folgende:
>  
> Da [mm]$x^0[/mm] = [mm](u^0,t^0)[/mm] ist und ich das in die Argumente von f
> und g einsetzte, dann kann man ja nicht mehr nach u oder t
> partiell ableiten.
>  Dann bleit als einzige Möglichkeit nur noch, das f und g
> nach [mm]x^0[/mm] abgeleitet werden kann.

In die existierenden Ableitungen $f'(x)$ und $g'(x)$ wird [mm] $x^0$ [/mm] eingesetzt.

>  
> Gebt mir doch bitte an, wie ihr den Schluß interpretieren
> würdet?

Die beiden Gleichungen sind Gleichungen für die beiden partiellen
Ableitungen von f und g.
Da f und g stetig differenzierbar sind und die partiellen Ableitungen
stetig sind, kann aus den partiellen Ableitungen
auf die Ableitung von f und g geschlossen werden.

Wenn man die beiden Gleichungen addiert und $ [mm] (u^0, t^0) [/mm] = [mm] x^0$ [/mm] einsetzt, erhält man:

$grad \ [mm] f(x^0) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{m} \lambda_i [/mm] \ grad \ [mm] g_1(x^0) [/mm] = 0$

was die letzte Zeile des zu beweisenden Satzes ist.

>  
> LG
>  Takota

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Di 14.08.2018
Autor: Takota

Hallo meili,

ich versuche das noch ein bischen aufzudrösseln was Du geschrieben hast.

(Ohne die Argumente [u^(t), t)], um Schreibaufwand zu sparen :-)):

[mm] $f_u [/mm] + [mm] \lambda^T g_t [/mm] = 0$
[mm] $g_u [/mm] + [mm] \lambda^T g_t [/mm] = 0$

Addition und Umformen ergibt:

[mm] $f_u+f_t [/mm] + [mm] \lambda^T [(g_u [/mm] + [mm] g_t)] [/mm] = 0$

Mit dem Satz:
Da alle partiellen Ableitungen von f und g existieren und stetig sind, ist auch f und g diff'bar.

[mm] $\Rightarrow f'(x^0) [/mm] + [mm] \lambda^T [/mm] g'(x0) = 0$

Was mir noch nicht ganz klar ist:

Die partiellen Ableitung sind [mm] $f_u+f_t$, [/mm] bzw., [mm] $g_u [/mm] + [mm] g_t$. [/mm]

Aber irgendwie fehlt da noch die innere Ableitung u'(t)?
Spielt die bei der Betrachtung hier keine Rolle?

Gruß
Takota


Bezug
                        
Bezug
Lagrange-Multiplikator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Fr 17.08.2018
Autor: meili

Hallo Takota,


>  
> ich versuche das noch ein bischen aufzudrösseln was Du
> geschrieben hast.
>  
> (Ohne die Argumente [u^(t), t)], um Schreibaufwand zu
> sparen :-)):

Es wird nicht mehr $u(t)$ betrachtet (gebraucht, da im Beweis in der
Gleichung (*) $u ' [mm] (t^0)$ [/mm] ersetzt wurde durch $ [mm] -\left( g_u(u^0,t^0) \right) ^{-1}g(u^0, t^0)$ [/mm] ),
sondern $u = [mm] (x_1, \ldots, x_m)$ [/mm] und $t = [mm] (x_{m+1}, \ldots, x_n)$. [/mm]

>  
> [mm]f_u + \lambda^T g_t = 0[/mm]
>  [mm]g_u + \lambda^T g_t = 0[/mm]
>  
> Addition und Umformen ergibt:
>  
> [mm]f_u+f_t + \lambda^T [(g_u + g_t)] = 0[/mm]

[ok]

>  
> Mit dem Satz:
>  Da alle partiellen Ableitungen von f und g existieren und
> stetig sind, ist auch f und g diff'bar.
>  
> [mm]\Rightarrow f'(x^0) + \lambda^T g'(x^0) = 0[/mm]
>  
> Was mir noch nicht ganz klar ist:
>  
> Die partiellen Ableitung sind [mm]f_u+f_t[/mm], bzw., [mm]g_u + g_t[/mm].

Die partiellen Ableitung sind [mm]f_u = \left( \bruch{\partial f}{\partial u_1}, \ldots, \bruch{\partial f}{\partial u_m}, 0, \ldots, 0 \right)[/mm] und  [mm] $f_t [/mm] = [mm] \left(0, \ldots, 0, \bruch{\partial f}{\partial t_{m+1}}, \ldots, \bruch{\partial f}{\partial t_n} \right)$. [/mm]

>  
> Aber irgendwie fehlt da noch die innere Ableitung u'(t)?
> Spielt die bei der Betrachtung hier keine Rolle?

Es wird nicht mehr eine Funktion $u(t)$ betrachtet, sondern nur noch die
Zerlegung von $x$ in $u$ und $t$.

>  
> Gruß
>  Takota
>  

Gruß
meili

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