Lagrange-Multiplikatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die folgende Produktionsfunktion gibt die Produktionsmenge x eines Produktes in Abhängikeit von den Einsatzmengen [mm] r_1, r_2 [/mm] zweier Inputfaktoren an (Alle Angaben in ME).
[mm] x(r_1 [/mm] , [mm] r_2) [/mm] = 1000 [mm] r_1 ^{\bruch{3}{8}} [/mm] * [mm] r_2 ^{\bruch{1}{2}}, [/mm] dabei gilt [mm] r_1,r_2 [/mm] >0
a)
Die Einkaufspreise für die Inputfaktoren betragen [mm] p_1 [/mm] = 40 und [mm] p_2 [/mm] = 100 [€/ME] . Ermitteln Sie für einen vorgegebenen Output von 1 000 000 ME den kostenminimalen Faktoreinsatz nach der Methode der Lagrange-Multiplikatoren und weisen Sie nach, dass es sich dabei tatsächlich um ein Minimum handelt.
b)
Wie groß ist der Lagrangemultiplikator im Minimumspunkt und was gibt er an?
c)
Der Verkaufspreis des Produktes liegt bei 0,44€/ME. Um wieviel würde der Gewinn (Differenz aus dem Verkaufserlös und den Kosten für die beiden Inputfaktoren) näherungsweise wachsen oder fallen, wenn 100 ME mehr hergestellt werden können? |
Hallo zusammen,
ich bin momentan an Aufgabenteil a) dran und weiß nicht wie ich weiterkommen kann.
Also :
Nebenbedingung ist 0 = 1000 [mm] r_1 ^{\bruch{3}{8}} [/mm] * [mm] r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] - 1 000 000
Kostenfunktion ist [mm] K(r_1 [/mm] , [mm] r_2) [/mm] = [mm] 40r_1 [/mm] + [mm] 100r_2
[/mm]
Meines Wissens muss ich jetzt [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] bestimmen und das ganze mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
[mm] L(r_1,r_2,\lambda)= 40r_1 [/mm] + [mm] 100r_2 [/mm] + [mm] \lambda*(1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}} [/mm] * [mm] r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] - 1 000 000)
so nun leite ich jeweils ab:
[mm] L(r_1' ,r_2,\lambda)= [/mm] 40 + [mm] \lambda*( \bruch{3000* r_2 ^\bruch{1}{2}}{r_1^\bruch{5}{8}}) [/mm] - 1 000 000)
[mm] L(r_1 ,r_2',\lambda)= [/mm] 100 + [mm] \lambda*( \bruch{1000* r_1 ^\bruch{3}{8}}{2r_2^\bruch{1}{2}}) [/mm] - 1 000 000)
Die Frage ist nun, wie l ich nun [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] bestimmen kann, um auf K_min zu kommen?
LG
Garfield
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Garfield000,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die folgende Produktionsfunktion gibt die Produktionsmenge
> x eines Produktes in Abhängikeit von den Einsatzmengen
> [mm]r_1, r_2[/mm] zweier Inputfaktoren an (Alle Angaben in ME).
>
> [mm]x(r_1[/mm] , [mm]r_2)[/mm] = 1000 [mm]r_1 ^{\bruch{3}{8}}[/mm] * [mm]r_2 ^{\bruch{1}{2}},[/mm]
> dabei gilt [mm]r_1,r_2[/mm] >0
>
> a)
> Die Einkaufspreise für die Inputfaktoren betragen [mm]p_1[/mm] =
> 40 und [mm]p_2[/mm] = 100 [€/ME] . Ermitteln Sie für einen
> vorgegebenen Output von 1 000 000 ME den kostenminimalen
> Faktoreinsatz nach der Methode der
> Langrange-Multiplikatoren und weisen Sie nach, dass es sich
> dabei tatsächlich um ein Minimum handelt.
>
> b)
> Wie groß ist der Lagrangemultiplikator im Minimumspunkt
> und was gibt er an?
>
> c)
> Der Verkaufspreis des Produktes liegt bei 0,44€/ME. Um
> wieviel würde der Gewinn (Differenz aus dem Verkaufserlös
> und den Kosten für die beiden Inputfaktoren)
> näherungsweise wachsen oder fallen, wenn 100 ME mehr
> hergestellt werden können?
> Hallo zusammen,
> ich bin momentan an Aufgabenteil a) dran und weiss nicht
> wie ich weiterkomenn kann.
>
> Also :
> Nebenbedingung ist 0 = 1000 [mm]r_1 ^{\bruch{3}{8}}[/mm] * [mm]r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> - 1 000 000
>
> Kostenfunktion ist [mm]K(r_1[/mm] , [mm]r_2)[/mm] = [mm]40r_1[/mm] + [mm]100r_2[/mm]
>
> Meines wissens muss ich jetzt [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] bestimmen und das
> ganze mit der Methode der Langrange-Multiplikatoren.
>
> [mm]L(r_1,r_2,\lambda)= 40r_1[/mm] + [mm]100r_2[/mm] + [mm]\lambda*(1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}}[/mm]
> * [mm]r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm] - 1 000 000)
>
> so nun leitet ich jeweils ab:
> [mm]L(r_1' ,r_2,\lambda)=[/mm] 40 + [mm]\lambda*( \bruch{3000* r_2 ^\bruch{1}{2}}{r_1^\bruch{5}{8}})[/mm]
> - 1 000 000)
> [mm]L(r_1 ,r_2',\lambda)=[/mm] 100 + [mm]\lambda*( \bruch{1000* r_1 ^\bruch{3}{8}}{2r_2^\bruch{1}{2}})[/mm]
> - 1 000 000)
>
> Die Frage ist nun wie l ich nun [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] bestimmen kann
> um auf K_min zu kommen?
Aus der Nebenbedingung kannst Du [mm]r_{1}[/mm] bzw. [mm]r_{2}[/mm] eliminieren.
Dies setzt Du in die 2 obigen Gleichungen ein.
Löse dann das entstehende Gleichungssystem.
>
> LG
> Garfield
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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> Aus der Nebenbedingung kannst Du [mm]r_{1}[/mm] bzw. [mm]r_{2}[/mm]
> eliminieren.
>
> Dies setzt Du in die 2 obigen Gleichungen ein.
>
> Löse dann das entstehende Gleichungssystem.
Hallo MathePower,
ich befürchte nur, dass dieser Weg etwas umständlich
werden könnte ...
LG Al
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Hallo Garfield,
> Die folgende Produktionsfunktion gibt die Produktionsmenge
> x eines Produktes in Abhängikeit von den Einsatzmengen
> [mm]r_1, r_2[/mm] zweier Inputfaktoren an (Alle Angaben in ME).
>
> [mm]x(r_1[/mm] , [mm]r_2)[/mm] = 1000 [mm]r_1 ^{\bruch{3}{8}}[/mm] * [mm]r_2 ^{\bruch{1}{2}},[/mm]
> dabei gilt [mm]r_1,r_2[/mm] >0
>
> a)
> Die Einkaufspreise für die Inputfaktoren betragen [mm]p_1[/mm] =
> 40 und [mm]p_2[/mm] = 100 [€/ME] . Ermitteln Sie für einen
> vorgegebenen Output von 1 000 000 ME den kostenminimalen
> Faktoreinsatz nach der Methode der
> Langrange-Multiplikatoren und weisen Sie nach, dass es sich
> dabei tatsächlich um ein Minimum handelt.
>
> b)
> Wie groß ist der Lagrangemultiplikator im Minimumspunkt
> und was gibt er an?
>
> c)
> Der Verkaufspreis des Produktes liegt bei 0,44€/ME. Um
> wieviel würde der Gewinn (Differenz aus dem Verkaufserlös
> und den Kosten für die beiden Inputfaktoren)
> näherungsweise wachsen oder fallen, wenn 100 ME mehr
> hergestellt werden können?
> Hallo zusammen,
> ich bin momentan an Aufgabenteil a) dran und weiss nicht
> wie ich weiterkomenn kann.
>
> Also :
> Nebenbedingung ist 0 = 1000 [mm]r_1 ^{\bruch{3}{8}}[/mm] * [mm]r_2 ^{\bruch{1}{2}}- 1 000 000[/mm]
>
>
> Kostenfunktion ist [mm]K(r_1[/mm] , [mm]r_2)[/mm] = [mm]40r_1[/mm] + [mm]100r_2[/mm]
>
> Meines wissens muss ich jetzt [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] bestimmen und das
> ganze mit der Methode der Langrange-Multiplikatoren.
>
> [mm]L(r_1,r_2,\lambda)= 40r_1[/mm] + [mm]100r_2[/mm] + [mm]\lambda*(1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,*\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm] - 1 000 000)
>
> so nun leitet ich jeweils ab:
> [mm]L(r_1' ,r_2,\lambda)=[/mm] 40 + [mm]\lambda*( \bruch{3000* r_2 ^\bruch{1}{2}}{r_1^\bruch{5}{8}})- 1 000 000)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm]L(r_1 ,r_2',\lambda)=[/mm] 100 + [mm]\lambda*( \bruch{1000* r_1 ^\bruch{3}{8}}{2r_2^\bruch{1}{2}})- 1 000 000)[/mm]
Diese Ableitungen hast du falsch notiert und falsch berechnet.
Die partielle Ableitung von L nach [mm] r_1 [/mm] schreibt sich so:
[mm] $\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_1}}$
[/mm]
> Die Frage ist nun wie ich nun [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] bestimmen kann
> um auf K_min zu kommen?
Die partiellen Ableitungen müssen ja verschwinden.
Aus den 2 Gleichungen, die du dann hast, kannst du
durch Elimination von [mm] \lambda [/mm] eine ganz einfache Gleichung
für [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] bilden
Ferner hast du noch die dritte Gleichung, nämlich die
Nebenbedingung ( bzw. [mm] $\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{\lambda}}\ [/mm] =\ 0$ )
Mit dieser zusammen berechnet man dann leicht die
konkreten Werte für die [mm] r_i [/mm] .
Tipp: für die Rechnungen würde ich die [mm] r_i [/mm] z.B. durch
u und v ersetzen.
LG
Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi und MathePower,
sorry für die falschen Ableitungen hier nochmals die partiellen Ableitungen:
[mm] L(r_1,r_2,\lambda)= 40r_1 +100r_2 [/mm] + [mm] \lambda\cdot{}((1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] )- 1 000 000)
[mm] \frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_1}}\ [/mm] = 40 + [mm] \lambda\cdot{}(( \bruch{375}{r_1^\bruch{5}{8}})- [/mm] 1 000 000)
[mm] \frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_2}}\ [/mm] = 100 + [mm] \lambda\cdot{}((\bruch{500}{r_2^\bruch{1}{2}})- [/mm] 1 000 000)
[mm] \frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{\lambda}}\ [/mm] = (1000 [mm] r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] )- 1 000 000
Diese Aussage iritiert mich. Beim ableiten wird [mm] \lambda [/mm] doch zu eins und der rest bleibt doch somit stehen wie oben.
> Ferner hast du noch die dritte Gleichung, nämlich die
> Nebenbedingung ( bzw. $ [mm] \frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{\lambda}}\ [/mm] =\ 0 $ )
Weiterhin:
> Die partiellen Ableitungen müssen ja verschwinden.
> Aus den 2 Gleichungen, die du dann hast, kannst du
> durch Elimination von [mm] \lambda [/mm] eine ganz einfache Gleichung
> für [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] bilden
Wie kann ich den [mm] \lambda [/mm] Eleminieren?
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> Hallo Al-Chwarizmi und MathePower,
>
> sorry für die falschen Ableitungen hier nochmals die
> partiellen Ableitungen:
>
> [mm]L(r_1,r_2,\lambda)= 40r_1 +100r_2[/mm] + [mm]\lambda\cdot{}((1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm] )- 1 000 000)
>
> [mm]\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_1}}\[/mm] = 40 + [mm]\lambda\cdot{}(( \bruch{375}{r_1^\bruch{5}{8}})-[/mm] 1 000 000)
Hallo,
auch wenn Du schon lange angemeldet bist, anläßlich Deines ersten Posts ein .
Du leitest falsch ab.
Du hast doch
[mm]L(r_1,r_2,\lambda)= 40r_1 +100r_2[/mm] + [mm]\lambda\cdot{}((1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm] )- 1 000 000)
[mm] =40r_1 +100r_2 [/mm] + [mm]\lambda\cdot{}1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm] - 1 000 [mm] 000*\lambda.
[/mm]
Beachte beim Ableiten nach [mm] r_1, [/mm] daß im dritten Summanden das [mm] \lambda\cdot{}1000*\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] ein konstanter Faktor ist. Der Ausdruck mit dem [mm] r_2 [/mm] verschwindet beim Ableiten also nicht.
Beachte weiter, daß im vierten Summanden kein [mm] r_1 [/mm] vorkommt, es sich also um eine Konstante handelt.
Analoge Fehler passieren Dir beim Ableiten nach [mm] r_2.
[/mm]
> [mm]\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_2}}\[/mm] = 100
> + [mm]\lambda\cdot{}((\bruch{500}{r_2^\bruch{1}{2}})-[/mm] 1 000
> 000)
> [mm]\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{\lambda}}\[/mm] =
> (1000 [mm]r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm] )-
> 1 000 000
>
> Diese Aussage iritiert mich. Beim ableiten wird [mm]\lambda[/mm]
> doch zu eins und der rest bleibt doch somit stehen wie
> oben.
> > Ferner hast du noch die dritte Gleichung, nämlich die
> > Nebenbedingung ( bzw.
> [mm]\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{\lambda}}\ =\ 0[/mm]
> )
>
Deine Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] ist richtig.
Al Chwarizmi ist einen Schritt weiter: um fortzufahren, sind die drei partiellen Gleichungen ja =0 zu setzen und dann zu lösen.
>
> Weiterhin:
> > Die partiellen Ableitungen müssen ja verschwinden.
> > Aus den 2 Gleichungen, die du dann hast, kannst du
> > durch Elimination von [mm]\lambda[/mm] eine ganz einfache
> Gleichung
> > für [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] bilden
>
> Wie kann ich den [mm]\lambda[/mm] Eleminieren?
Das klären wir am besten, wenn das korrekte Gleichungssystem dasteht.
Gruß v. Angela
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Hallo angela.h.b. ,
danke für dein Einwand
$ [mm] L(r_1,r_2,\lambda)= 40r_1 +100r_2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda\cdot{}((1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ )- 1 000 000)
[mm] \frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_1}}\ [/mm] $ = 40 + $ [mm] \lambda\cdot{}\bruch{375}{r_1^\bruch{5}{8}}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_2}}\ [/mm] $ = 100 + $ [mm] \lambda\cdot{}500\cdot{}r_1^\bruch{3}{8}\cdot{}\bruch{1}{r_2^\bruch{1}{2}}
[/mm]
$ [mm] \frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{\lambda}}\ [/mm] $ = (1000 $ [mm] r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ )- 1 000 000
Daraus enstehen jetzt 3. Gleichungen =>
I. 40 + [mm] \lambda\cdot{}\bruch{375}{r_1^\bruch{5}{8}}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2} [/mm] = 0
II. 100 + [mm] \lambda\cdot{}500\cdot{}r_1^\bruch{3}{8}\cdot{}\bruch{1}{r_2^\bruch{1}{2}} [/mm] = 0
III. (1000 $ [mm] r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ )- 1 000 000 = 0
Ich weiss jetzt nicht wie ich [mm] \lambda [/mm] eleminier kann.
LG
Garfield
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Hallo Garfield000,
> Hallo angela.h.b. ,
> danke für dein Einwand
>
> [mm]L(r_1,r_2,\lambda)= 40r_1 +100r_2[/mm] + [mm]\lambda\cdot{}((1000 r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> )- 1 000 000)
>
> [mm]\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_1}}\[/mm] [mm]= 40 + [/mm]
> [mm]\lambda\cdot{}\bruch{375}{r_1^\bruch{5}{8}}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{r_2}}\[/mm] [mm]= 100 +[/mm]
> [mm]\lambda\cdot{}500\cdot{}r_1^\bruch{3}{8}\cdot{}\bruch{1}{r_2^\bruch{1}{2}}[/mm]
> [mm]\frac{\partial{L(r_1,r_2,\lambda)}}{\partial{\lambda}}\[/mm] =
> (1000 [mm]r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm] )-
> 1 000 000
>
> Daraus enstehen jetzt 3. Gleichungen =>
> I. 40 +
> [mm]\lambda\cdot{}\bruch{375}{r_1^\bruch{5}{8}}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2}[/mm]
> = 0
> II. 100 +
> [mm]\lambda\cdot{}500\cdot{}r_1^\bruch{3}{8}\cdot{}\bruch{1}{r_2^\bruch{1}{2}}[/mm]
> = 0
> III. (1000 [mm]r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> )- 1 000 000 = 0
>
> Ich weiss jetzt nicht wie ich [mm]\lambda[/mm] eleminier kann.
Löse z.B. die 1. Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] auf,
und setze dieses [mm]\lambda[/mm] in die 2. Gleichung ein.
>
> LG
> Garfield
Gruss
MathePower
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Gesagt getan:
I. 40 + $ [mm] \lambda\cdot{}\bruch{375}{r_1^\bruch{5}{8}}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2} [/mm] $ = 0
II. 100 + $ [mm] \lambda\cdot{}500\cdot{}r_1^\bruch{3}{8}\cdot{}\bruch{1}{r_2^\bruch{1}{2}} [/mm] $ = 0
III. (1000 $ [mm] r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ )- 1 000 000 = 0
Habe die I Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst und erhalte
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{-40r_1^\bruch{5}{8}}{357\cdot{}r_2^\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] habe ich nun in die II Gleichung eingesetz und erhalte
[mm] r_1 [/mm] = [mm] 1,875r_2
[/mm]
nun gehe ich davon aus dass ich r_ in die dritte gleichung einsetzen kann
die III Gleichung habe ich soweit vereinfacht:
III [mm] r_1 ^\bruch{3}{8}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2} [/mm] = 10000
Wenn ich hier [mm] r_1 [/mm] = [mm] 1,875r_2 [/mm] einsetze wirds unschön und ich kann es nicht ohne Taschenrechner lösen (wegen den exponenten).
Übersehe ich hier ein 'Trick'?
[mm] (1,875r_2) ^\bruch{3}{8}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2} [/mm] = 10000
Wie löse ich dies am besten?
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> Gesagt getan:
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> I. 40 +
> [mm]\lambda\cdot{}\bruch{375}{r_1^\bruch{5}{8}}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2}[/mm]
> = 0
> II. 100 +
> [mm]\lambda\cdot{}500\cdot{}r_1^\bruch{3}{8}\cdot{}\bruch{1}{r_2^\bruch{1}{2}}[/mm]
> = 0
> III. (1000 [mm]r_1 ^{\bruch{3}{8}}\,\cdot{}\ r_2 ^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> )- 1 000 000 = 0
>
> Habe die I Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst und erhalte
> [mm]\lambda[/mm] =
> [mm]\bruch{-40r_1^\bruch{5}{8}}{357\cdot{}r_2^\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] habe ich nun in die II Gleichung eingesetz und
> erhalte
> [mm]r_1[/mm] = [mm]1,875r_2[/mm]
>
> nun gehe ich davon aus dass ich r_ in die dritte gleichung
> einsetzen kann
> die III Gleichung habe ich soweit vereinfacht:
> III [mm]r_1 ^\bruch{3}{8}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2}[/mm] = 10000
>
> Wenn ich hier [mm]r_1[/mm] = [mm]1,875r_2[/mm] einsetze wirds unschön und
> ich kann es nicht ohne Taschenrechner lösen (wegen den
> exponenten).
>
> Übersehe ich hier ein 'Trick'?
> [mm](1,875r_2) ^\bruch{3}{8}\cdot{}r_2^\bruch{1}{2}[/mm] = 10000
> Wie löse ich dies am besten?
>
Hallo Garfield000,
ich hatte es mir so gedacht:
ich setze [mm] x:=r_1 [/mm] und [mm] y:=r_2
[/mm]
Dann haben wir die Gleichungen [mm] y=\frac{8}{15}x
[/mm]
und [mm] x^{\frac{3}{8}}*y^{\frac{1}{2}}=1000
[/mm]
(das entspricht auch deinen Gleichungen)
Um die gebrochenen Nenner loszuwerden, potenziere ich
die zweite Gleichung mit 8. Das ergibt:
[mm] x^3*y^4=10^{24}
[/mm]
Nun kann man in dieser Gleichung $\ [mm] y:=\frac{8}{15}\ [/mm] x$ setzen
und hat:
[mm] x^3*\left(\frac{8}{15}x\right)^4=10^{24} [/mm]
Dies führt auf eine Gleichung der Form [mm] x^7=Q [/mm] mit einem
rationalen Q. Das kann man (auch ohne TR) formal zu Ende
bringen und hat
$\ [mm] x=\wurzel[7]{\frac{.....^{}}{.....}}$
[/mm]
mit ganzzahligen Werten von Zähler und Nenner.
Für die Berechnung des numerischen Wertes der Wurzel
würde ich dann aber auch zum Rechner greifen.
LG Al-Chw.
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Die b) konnte ich noch lösen aber für c) finde ich einfach keinen Ansatz.
Wie komme ich den auf den Verkaufserlös und die Kosten für die beiden Inputfaktoren?
Habe auch ein Musterlösung erhalten:
[mm] \delta [/mm] G= 3€/100ME
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Hallo Garfield000,
> Die b) konnte ich noch lösen aber für c) finde ich
> einfach keinen Ansatz.
>
> Wie komme ich den auf den Verkaufserlös und die Kosten
> für die beiden Inputfaktoren?
Der Verkaufserlös ergibt sich aus Produktionsmenge multipliziert
mit dem Preis pro ME.
Die beiden neuen Mengen für die Inputfaktoren musst Du
natürlich wieder ausrechnen.
>
> Habe auch ein Musterlösung erhalten:
> [mm]\delta[/mm] G= 3€/100ME
>
Gruss
MathePower
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Hallo Garfield000,
>Der Verkaufserlös ergibt sich aus Produktionsmenge multipliziert
>mit dem Preis pro ME.
=> Verkaufserlös= 0,44 * 100 = 44 €
>Die beiden neuen Mengen für die Inputfaktoren musst Du
>natürlich wieder ausrechnen.
Das heißt wenn ic bei [mm] p_1 [/mm] für ein ME40 € Zahle, dann Zahle ich für 100 ME [mm] p_1 [/mm] =4000€. Für [mm] p_2 [/mm] folgt also [mm] p_2 [/mm] = 10000€.
Damit komme ich natürlich nicht auf die Musterlösung aber sehe hier irgendwie nur eine Wand vor den Augen.
Musterlösung:
$ [mm] \delta [/mm] $ G= 3€/100ME
Gruss
Garfield
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Hallo Garfield000,
> Hallo Garfield000,
>
> >Der Verkaufserlös ergibt sich aus Produktionsmenge
> multipliziert
> >mit dem Preis pro ME.
> => Verkaufserlös= 0,44 * 100 = 44 €
>
> >Die beiden neuen Mengen für die Inputfaktoren musst Du
> >natürlich wieder ausrechnen.
>
> Das heißt wenn ic bei [mm]p_1[/mm] für ein ME40 € Zahle, dann
> Zahle ich für 100 ME [mm]p_1[/mm] =4000€. Für [mm]p_2[/mm] folgt also [mm]p_2[/mm]
> = 10000€.
Nein.
>
> Damit komme ich natürlich nicht auf die Musterlösung aber
> sehe hier irgendwie nur eine Wand vor den Augen.
>
Für den neuen Output von 1 000 000 + 100 = 1 000 100 ME
mußt Du natürlich zuerst die Einsatzmengen berechnen.
Demnach:
[mm]1000100=1000*r_{1}^{3/8}*r_{2}^{1/2}[/mm]
mit der Kenntnis, daß
[mm]r_{1}=1.875*r_{2}[/mm]
>
>
> Musterlösung:
> [mm]\delta[/mm] G= 3€/100ME
>
>
>
> Gruss
> Garfield
Gruss
MathePower
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Ahh ok das heisst ich berechne damit das neu [mm] r_2 [/mm] und dann das neue [mm] r_1 [/mm] um dann mit
[mm] \Delta [/mm] G = 44-(r_2neu + r_1neu) auf die Lösung zu kommen?
Hoffe mal das Stimmt den so macht das für mich Sinn :)
Gruss
Garfield
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Hallo Garfield000,
> Ahh ok das heisst ich berechne damit das neu [mm]r_2[/mm] und dann
> das neue [mm]r_1[/mm] um dann mit
> [mm]\Delta[/mm] G = 44-(r_2neu + r_1neu) auf die Lösung zu
> kommen?
Bilde die Gewinnfunktion [mm]G\left(r_{1},r_{2}\right)[/mm]
Berechne dann die Tangentialebene von [mm]G\left(r_{1},r_{2}\right)[/mm].
Damit kannst Du dann
[mm]\Delta G=G\left(r_{1,neu},r_{2,neu}\right)-G\left(r_{1},r_{2}\right)[/mm]
näherungsweise berechnen.
>
> Hoffe mal das Stimmt den so macht das für mich Sinn :)
>
> Gruss
> Garfield
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Finde das Minimum mit der folgenden Gleichung (Programm Matlab):
function L = mini2(b,h,t1,t2)
%UNTITLED Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
My=9500000;
E=70000;
Sigz=200 ;
L=2*((b*t1)+(h*t2));
end
Die Nebenbedingungen lauten:
function [o,s,u] = nB2(b,h,t1,t2)
%UNTITLED Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
My=9500000;
E=70000;
Sigz=200;
%seitenstabilität Obergurt
o= [mm] ((My*h)/(2*((t2*h^3)/12)+(2*(((b*t1^3)/12)+(h/2)^2*t1*b))*2)-((3.62*E*t1^2)/b^2));
[/mm]
%stabilität seitenwände
s= [mm] ((My*h)/(2*((t2*h^3)/12)+(2*(((b*t1^3)/12)+(h/2)^2*t1*b))*2)-((21.7*E*t2^2)/h^2));
[/mm]
%festigkeit untergurt
u= [mm] (My*h)/(2*((t2*h^3)/12)+(2*(((b*t1^3)/12)+(h/2)^2*t1*b))*2)-Sigz;
[/mm]
end |
Hallo zusammen,
ich bin neu hier und habe noch nicht viel mit Matlab gearbeitet.
Meine Aufgabe ist es ein Kastenprofil auf Leichtbau zu optimieren. Erst soll die Dicke, Querschnittshöhe und -Breite berechnet werden und dann die Daten per FEM Analyse überprüft werden.
Die Grundgleichungen für die rechnerische Analyse sind mir klar, nur kann ich das ganze nicht mit Maple lösen.
Die Aufgabenstellung lässt sich in das mathematische Gebiet der Bestimmung von Extrema mit Nebenbedingungen einordnen.
Für eine solche Bestimmung eines Minimums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen eignet sich das Verfahren LAGRANGEscher Multiplikatoren.
Wie komme ich nun auf die Querschnittsfläche L aus der obersten Gleichung?
Ich würde mich sehr über ein paar Antworten freuen!!
Viele Grüße, Michi
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Hallo,
ich finde da keine deutlichen Ähnlichkeiten mit dem
Thema des 7 Monate alten und damals abgeschlossenen
Threads. Darum finde ich, dass du deine neue Frage
besser in einem neuen Thread stellen würdest.
LG
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Hallo Hurricane,
> Finde das Minimum mit der folgenden Gleichung (Programm
> Matlab):
>
> function L = mini2(b,h,t1,t2)
> %UNTITLED Summary of this function goes here
> % Detailed explanation goes here
>
> My=9500000;
> E=70000;
> Sigz=200 ;
>
> L=2*((b*t1)+(h*t2));
>
> end
>
>
> Die Nebenbedingungen lauten:
>
> function [o,s,u] = nB2(b,h,t1,t2)
> %UNTITLED Summary of this function goes here
> % Detailed explanation goes here
>
> My=9500000;
> E=70000;
> Sigz=200;
>
> %seitenstabilität Obergurt
> o=
> [mm]((My*h)/(2*((t2*h^3)/12)+(2*(((b*t1^3)/12)+(h/2)^2*t1*b))*2)-((3.62*E*t1^2)/b^2));[/mm]
>
> %stabilität seitenwände
> s=
> [mm]((My*h)/(2*((t2*h^3)/12)+(2*(((b*t1^3)/12)+(h/2)^2*t1*b))*2)-((21.7*E*t2^2)/h^2));[/mm]
>
> %festigkeit untergurt
> u=
> [mm](My*h)/(2*((t2*h^3)/12)+(2*(((b*t1^3)/12)+(h/2)^2*t1*b))*2)-Sigz;[/mm]
>
>
> end
> Hallo zusammen,
> ich bin neu hier und habe noch nicht viel mit Matlab
> gearbeitet.
> Meine Aufgabe ist es ein Kastenprofil auf Leichtbau zu
> optimieren. Erst soll die Dicke, Querschnittshöhe und
> -Breite berechnet werden und dann die Daten per FEM Analyse
> überprüft werden.
> Die Grundgleichungen für die rechnerische Analyse sind
> mir klar, nur kann ich das ganze nicht mit Maple lösen.
> Die Aufgabenstellung lässt sich in das mathematische
> Gebiet der Bestimmung von Extrema mit Nebenbedingungen
> einordnen.
> Für eine solche Bestimmung eines Minimums einer
> Zielfunktion mit Nebenbedingungen eignet sich das Verfahren
> LAGRANGEscher Multiplikatoren.
> Wie komme ich nun auf die Querschnittsfläche L aus der
> obersten Gleichung?
Stelle zunächst mal den Ansatz nach Lagrange auf.
Da Du 3 Nebenbedingungen hast, hast Du 7 Parameter.
Diesen Ansatz differenzierst nach diesen 7 Parametern,
und löst das entprechende LGS.
> Ich würde mich sehr über ein paar Antworten freuen!!
> Viele Grüße, Michi
Gruss
MathePower
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