Lagrange-Polynome < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mo 08.10.2007 | | Autor: | detlef |
Hallo,
es geht um Lagrange-Polynome, wir haben das Thema neu begonnen und ich steige da nicht so ganz durch, deshalb bräuchte ich bitte ein wenig hilfe bei dieser Aufgabe, wie man da vorgehen muss:
Seien irgendwelche Stützstellen x0<....<x5 gegeben und L0...,L5 die entsprechende-Polynome.
a) Geben sie für [mm] p=5L_{2}+7L_{5} [/mm] die Werte [mm] p(x_{i}, [/mm] also p(x0),p(x1).. an.
Kann mir da jemand vllt ein paar Tipps geben, weil ich nicht so genau weiss, was ich überhaupt machen soll!?
detlef
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> Hallo,
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> es geht um Lagrange-Polynome, wir haben das Thema neu
> begonnen und ich steige da nicht so ganz durch, deshalb
> bräuchte ich bitte ein wenig hilfe bei dieser Aufgabe, wie
> man da vorgehen muss:
>
> Seien irgendwelche Stützstellen x0<....<x5 gegeben und
> L0...,L5 die entsprechende-Polynome.
> a) Geben sie für [mm]p=5L_{2}+7L_{5}[/mm] die Werte [mm]p(x_{i},[/mm] also
> p(x0),p(x1).. an.
>
> Kann mir da jemand vllt ein paar Tipps geben, weil ich
> nicht so genau weiss, was ich überhaupt machen soll!?
Hallo,
schreib Dir doch erstmal die 6 ![[]](/images/popup.gif) Lagrange-Polynome [mm] l_0,...,l_5 [/mm] auf.
Es soll ja sein [mm] p=5L_{2}+7L_{5},
[/mm]
also berechne [mm] p(x_k)=5L_{2}(x_k)+7L_{5}(x_k).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 08.10.2007 | | Autor: | detlef |
was heißt das denn, ich kenne diese Lagrange-Interpolation nur, wenn man 5 wertepaare z.b. hat und dann ein polynom erstellen soll, hat das was damit zu tun und wenn ja, in welcher weise?
danke
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> was heißt das denn, ich kenne diese Lagrange-Interpolation
> nur, wenn man 5 wertepaare z.b. hat und dann ein polynom
> erstellen soll, hat das was damit zu tun und wenn ja, in
> welcher weise?
Das hat damit nicht so sonderlich viel zu tun. Du hast ja gar keine Wertepaare gegeben und kannst folglich kein Interpolationspolynom aufstellen.
Diese Aufgabe dient zur Übung.
Du sollst einfach zu Deinen Stützstellen das 2. und 5. Lagrangepolynom bilden,
anschließend die angegebene Funktion, ein Polynom, und dann die Werte dieses neuerschaffenen Polynoms an den Stützstellen angeben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Di 09.10.2007 | | Autor: | detlef |
ok,
als p(x) wird ja meistens das interpolierte polynom bezeichnet oder? Wenn ich dann 5 werte gegeben habe, dann muss die Funktion vierten Grades sein!
Aber hier muss ich jetzt nicht das Polynom berechnen, weil es gegeben ist. Und heißt es, dass L2,L3,L4 gleich Null sind?
Muss ich dann Koeffizientenverlgeich machen oder leige ich ganz falsch?
mfg
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> ok,
> als p(x) wird ja meistens das interpolierte polynom
> bezeichnet oder?
Hallo,
das will ich nicht ausschließen. Aber Namen sind Schall und Rauch, und HIER ist p eben [mm] p:=5l_2 [/mm] + [mm] 7l_5.
[/mm]
Es ist KEIN Interpolationspolynom, denn es gibt in der Aufgabe NICHTS zu interpolieren.
Trotzdem kann man natürlich die Lagrangepolynome aufstellen. Es besteht ja kein gesetzlicher Zwang, sie zum Interpolieren zu verwenden. Wenn es mir gefiele, könnte ich sie an meinen Hut stecken. Das sollst Du nicht tun - Du sollst ein neues Polynom p nach der obigen Vorschrift draus machen, und das ginge schneller, wenn Du endlich anfingest, das 2. und 5.Lagrangepolynom aufzustellen. Die Basispolynome sind damit gemeint, ich hatte Dir doch einen Link geschickt, falls Du sie nicht in der Vorlesung aufgeschrieben hast.
> Wenn ich dann 5 werte gegeben habe, dann
> muss die Funktion vierten Grades sein!
Wenn Du 5 Stützstellen hast, bekommst Du 5 Lagrangebasispolynome, welche jeweils von Grad 4 sind.
In Deiner Aufgabe hast Du ja 6 Stützstellen [mm] x_0,...,x_5, [/mm] also bekommst Du 6 Lagrangebasispolynome vom Grad 5.
> Aber hier muss ich jetzt nicht das Polynom berechnen, weil
> es gegeben ist. Und heißt es, dass L2,L3,L4 gleich Null
> sind?
Du mußt kein Interpolationspolynom berechnen, weil es nicht gesucht und gefordert ist, und weil Du in Ermangelung von Wertepaaren gar keins aufstellen könntest.
Für die Lagrangebasispolynome jedoch reichen die Stützstellen. Die kannst und mußt Du aufstellen, nicht alle, sondern [mm] L_2 [/mm] und [mm] L_5, [/mm] weil Du die lt. Aufgabenstellung benötigst.
> Muss ich dann Koeffizientenverlgeich machen oder leige ich
> ganz falsch?
Einen Koeffizientenbergleich brauchst Du nicht.
Stell [mm] l_2 [/mm] und [mm] l_5 [/mm] auf, multipliziere sie mit 5 bzw. 7 und addiere, was Du erhältst. Dann hast Du p(x). Fertig.
Komm ja nicht auf die Idee, in den Lagragebasispolynomen die Klammern auszumultiplizieren! Damit verdirbst Du Dir alles, Du wirst es später beim Einsetzen merken.
Fang jetzt mal an.
Du kannst doch langsam loslegen.
Stell nach Anleitung [mm] l_2 [/mm] auf. Zeig es hier vor, damit wir sehen, ob es richtig ist. Dann geht's weiter.
Learning by doing!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Di 09.10.2007 | | Autor: | detlef |
hmm ist das richtig?
[mm] L_{2} [/mm] = [mm] ((x-x_{0})*(x-x_{1})*(x-x_{3})*(x-x_{4})*(x-x_{5}))/((x_{2}-x_{0}*(x_{2}-x_{1})*(x_{2}-x_{3})*(x_{2}-x_{4})*(x_{2}-x_{5}))
[/mm]
Und das gleiche für [mm] L_{5}..
[/mm]
detlef
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Hallo detlef,
du kannst es dir viel einfacher machen. Die entscheidende Eigenschaft der Lagrange-Polynome ist ja, dass [mm] $L_k(x_j)=\delta_{kj}$, [/mm] das bedeutet: An der zugehörigen Stützstelle ist ein Lagrangepolynom gleich $1$, an den anderen gleich $0$. Setze das doch mal in deine Formel für $p$ ein!
Gruß, banachella
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> hmm ist das richtig?
>
> [mm]L_{2}[/mm] =
> [mm]((x-x_{0})*(x-x_{1})*(x-x_{3})*(x-x_{4})*(x-x_{5}))/((x_{2}-x_{0})*(x_{2}-x_{1})*(x_{2}-x_{3})*(x_{2}-x_{4})*(x_{2}-x_{5}))[/mm]
>
> Und das gleiche für [mm]L_{5}..[/mm]
Hallo,
ja, so ist das Lagrangepolynom richtig.
Nun überleg Dir, daß stimmt, was banachella sagt:
setze mal die Stützstellen ein und berechne den Wert von [mm] L_2(x_k), [/mm] k=0,...,5.
Das ist der Witz bei den Lagrangepolynomen! So sind die gemacht!
Wenn Du das weißt, ist es dann ein Leichtes, p an den geforderten Stellen zu berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 09.10.2007 | | Autor: | detlef |
sorry, ich verstehe immer noch nicht, was das einfache/beondere an dem Polynom ist und was mir dadurch vereinfacht wird!
Was ist das mit 0 und 1?
mfg
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> sorry, ich verstehe immer noch nicht, was das
> einfache/beondere an dem Polynom ist und was mir dadurch
> vereinfacht wird!
> Was ist das mit 0 und 1?
Hallo,
wir redeten ja über das Polynom [mm] l_2.
[/mm]
Hast Du getan, was ich gesagt habe? Die Stützstellen eingesetzt? Mach mal!
Was ergibt denn [mm] l_2(x_0)? [/mm]
[mm] l_2(x_0)=...
[/mm]
Und weiter
[mm] l_2(x_1)=...
[/mm]
[mm] l_2(x_2)=...
[/mm]
[mm] l_2(x_3)=...
[/mm]
[mm] l_2(x_4)=...
[/mm]
[mm] l_2(x_5)=...
[/mm]
Wenn Du das getan hast, wirst Du verstehen, wie die Lagrange-Grundpolynome gemacht sind.
Du kannst auch mal folgendes tun - nein, wenn ich es mir recht üüberlege solltest Du es tun:
nimm mal die Stützstellen 1,2,4,7 und stell die zugehörigen Lagrange-Polynome auf. Plotte sie Dir mal! (Du sollst das nicht für mich tun, ich muß das Ergebnis nicht unbedingt wissen, aber vielleicht fällt es Dir mit konkreten Zahlen leichter.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Di 09.10.2007 | | Autor: | detlef |
Ich habe ja [mm] L_2 [/mm] richtig angegeben, aber was soll ich denn da noch einsetzen, in der Aufgabe ist doch keine Zahl gegeben?
Was ist denn noch mit
[mm] L_{2}(x_{o}) [/mm] usw gemeint? Wieso ändert das dich denn????
Das Thema ist für mich noch völlig durcheinander mit den ganzen Indizes usw...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 09.10.2007 | | Autor: | detlef |
Ich glaube, dass auch ein Problem bei mir ist, dass ich die Aufgabenstellung gar nicht 100%ig verstehe, wie schon gesgat, verbinde ich Lagrange immer mit dem Interpolieren einer Kurve!
Hier soll ich für p die Werte angeben? Was ist hier p und wie kann man sich das vorstellen, dass da verschiedene Werte einsetzbar sind?
mfg
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> Ich habe ja [mm]L_2[/mm] richtig angegeben, aber was soll ich denn
> da noch einsetzen, in der Aufgabe ist doch keine Zahl
> gegeben?
>
> Was ist denn noch mit
> [mm]L_{2}(x_{o})[/mm] usw gemeint? Wieso ändert das dich denn????
>
> Das Thema ist für mich noch völlig durcheinander mit den
> ganzen Indizes usw...
Hallo,
weil ich mir das denke, hatte ich Dir ja den Tip gegeben, das mal mit konkreten Zahlen durchzuziehen.
Du hattest
[mm] L_{2}=\bruch{(x-x_{0})\cdot{}(x-x_{1})\cdot{}(x-x_{3})\cdot{}(x-x_{4})\cdot{}(x-x_{5})}{(x_{2}-x_{0}\cdot{}(x_{2}-x_{1})\cdot{}(x_{2}-x_{3})\cdot{}(x_{2}-x_{4})\cdot{}(x_{2}-x_{5})},
[/mm]
also [mm] L_2(x)=\bruch{(x-x_{0})\cdot{}(x-x_{1})\cdot{}(x-x_{3})\cdot{}(x-x_{4})\cdot{}(x-x_{5})}{(x_{2}-x_{0}\cdot{}(x_{2}-x_{1})\cdot{}(x_{2}-x_{3})\cdot{}(x_{2}-x_{4})\cdot{}(x_{2}-x_{5})},.
[/mm]
Wenn Du Dich für [mm] L_2(x_0) [/mm] interessierst, setzt Du überall für x [mm] x_0 [/mm] ein:
[mm] L_2(x_0)=\bruch{(x_0-x_{0})\cdot{}(x_0-x_{1})\cdot{}(x_0-x_{3})\cdot{}(x_0-x_{4})\cdot{}(x_0-x_{5})}{(x_{2}-x_{0}\cdot{}(x_{2}-x_{1})\cdot{}(x_{2}-x_{3})\cdot{}(x_{2}-x_{4})\cdot{}(x_{2}-x_{5})}
[/mm]
Was kommt da heraus? Schau Dir den ersten Term auf dem Bruchstrich an!
Ebenso mußt Du die Werte an den anderen Stützstellen ausrechnen.
___
Ich mach Dir das mal für drei konkrete Stützstellen vor, für [mm] x_0=7, x_1= [/mm] 11, [mm] x_2=13.
[/mm]
Es ist [mm] l_0= \bruch{(x-11)(x-13)}{(7-11)(7-13)}=\bruch{(x-11)(x-13)}{24},
[/mm]
[mm] l_1= \bruch{(x-7)(x-13)}{(11-7)(11-13)}=-\bruch{(x-7)(x-13)}{8}
[/mm]
[mm] l_2=\bruch{(x-7)(x-11)}{(13-7)(13-11)}=\bruch{(x-7)(x-11)}{12}
[/mm]
Plotte die Polynome!
Das Besondere: [mm] i_0(7)=1, l_0(11)=0, [/mm] l_(13)=0
[mm] l_1(7)=0, l_1(11)=1, l_1(13)=1,
[/mm]
[mm] l_2(7)=0, l_2(11)=0, l_2(13)=1.
[/mm]
Jetzt bilde ich aus Jux und Tollerei das Polynom q:= [mm] 2l_0 +24l_2.
[/mm]
Es ist q(x)= [mm] 2l_0(x) +24l_2(x),
[/mm]
(*)
also q(7)= [mm] 2l_0(7) +24l_2(7)=2*1 [/mm] + 24*0= 2
q(11)= [mm] 2l_0(11) +24l_2(11)=2*0 [/mm] + 24*0=0
q(13)= [mm] 2l_0(13) +24l_2(13)=2*0 [/mm] + 24*1=24.
Natürlich kann ich auch q(5)= [mm] 2l_0(5) +24l_2(5) [/mm] berechnen, das ist dann
q(5)= [mm] 2l_0(5)+24l_2(5)=2*\bruch{(5-11)(5-13)}{24}+24*\bruch{(5-7)(5-11)}{12}=2*\bruch{48}{24}+24*\bruch{12}{12}=4+24=28
[/mm]
Das hat zunächst mit Interpolation gar nichts zu tun.
Aufgrund der Eigenschaften bei (*) kann man die Lagrage-Grundpolynome aber sehr gut zum Interpolieren verwenden.
Wie das dann geht, hast Du in der Vorlesung gelernt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 09.10.2007 | | Autor: | detlef |
Oh vielen dank, es ist gerade auf einem guten Weg das ich das verstehe!
Ich habe das jetzt mal geplottet, aber die genaue Aussage ist mir nicht ganz klar, was man daran erkennt?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Oh vielen dank, es ist gerade auf einem guten Weg das ich
> das verstehe!
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> Ich habe das jetzt mal geplottet, aber die genaue Aussage
> ist mir nicht ganz klar, was man daran erkennt?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
beim Polynom [mm] l_1 [/mm] hast Du das negative Vorzeichen vergessen.
Du hast den Maßstab nicht so günstig gewählt.
Sehen solltest Du, daß die Polynome jeweils an zwei der Stützstellen eine Nullstelle haben, und daß an der dritten Stelle der Funktionswert jeweils =1 ist.
Und weil die Polynome so gemacht sind, kann man so gut damit interpolieren.
Wir kommen zur Interpolation:
Ich suche nun ein Polynom durch die Punkte (7/ -4), (11,12) und (13/1)
Das Interpolationspolynom f finde ich aufgrund der besonderen Eigenschaften der Lagrange-Grundpolynome ganz schnell.
Es ist [mm] f=-4L_0+12l_1+1l_2.
[/mm]
Warum interpoliert das?
Es ist
[mm] f(7)=-4l_0(7)+12l_1(7)+1l_2(7)=-4*1+12*0+1*0=-4
[/mm]
[mm] f(11)=-4l_0(11)+12l_1(11)+1l_2(11)=-4*0+12*1+1*0=12
[/mm]
[mm] f(13)=-4l_0(13)+12l_1(13)+1l_2(13)=-4*0+12*0+1*1=1
[/mm]
Auch das kannst Du mal plotten, wenn Du willst. Du siehst, wie schön das Polynom durch die geforderten Punkte geht.
Als nächstes kannst Du Dir selbst andere Funktionswerte suchen, (7/ ...), (11,...) und (13/...), und dann kannst Du schauen, ob Du das Interpolationspolynom findest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:23 Mi 10.10.2007 | | Autor: | detlef |
Ich glaube, dass ich der Sache näher komme!
Es gibt da noch eine Aufgabe
b) Geben Sie für q= [mm] L_{0}+L_{1}+...+L_{5} [/mm] die Werte [mm] q(x_{i}), [/mm] also [mm] q(x_{0}..{5} [/mm] an.
Das müsste doch dann immer 1 sein oder nicht?
vielen dank
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> Ich glaube, dass ich der Sache näher komme!
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> Es gibt da noch eine Aufgabe
> b) Geben Sie für q= [mm]L_{0}+L_{1}+...+L_{5}[/mm] die Werte
> [mm]q(x_{i}),[/mm] also [mm]q(x_{0}..{5}[/mm] an.
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> Das müsste doch dann immer 1 sein oder nicht?
Hallo,
ich glaube, daß Du es jetzt verstanden hast, was mich sehr erfreut.
Ja, das ist immer 1.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Mi 10.10.2007 | | Autor: | detlef |
ja ich glaube auch! Vielen dank für die guten erklärungen!
detlef
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